『ミレニアム問題』解答

◆東京都　ぱずきち さんからの解答。

【おまけ】

f(z,n,m)=n

k=1		 Exp(πzExp(iπ(2k-1)
n		))Exp( -iπ(2k-1)m
n		)・・（式１）
と置くとｘ1,ｘ2,ｘ3,...が 満たすべき方程式は
f(z,n,m)=0 ・・（式２）と表される。

また、f(z,n,m)に対して

f(z,n,m+n)=-f(z,n,m)・・（式３）

d
dz		f(z,n,m)=πf(z,n,m-1)・・（式４）

f(Exp(i2π
n		)z,n,m)= Exp(i2πm
n		)f(z,n,m)・・（式５）
f(z,n,m)=n ∞

k=0		 (-1)k･(πz)nk+m
(nk+m)!		・・（式６）　（０≦ｍ＜ｎ）

が成立する。

この方程式の一つの解をz0とすると、（式５）より
Exp(i2πk
n		)z0も解となることが判る。

証明はしていないが、（式２）の全ての解は実数または、これを
Exp(i2πk
n		)により回転させたものであり、
０以外の解の多重度はすべて１である。
（これを証明していないので、この解答は不完全です。）

(Exp(i2πk
n		)z0)n=z0n
を考慮すると、求める値は
全ての０でない複素解ＺiについてＺi-nの和を求めて、ｎで割ればよいことが判る。

また、積分路Ｃ1として原点を中心とする半径Ｒ（（式２）の実数解の中間を通るように定める）の円周を取った積分


∫
C1		 z-n f’(z,n,m)
f(z,n,m)		ｄｚ
は上記Ｒ→∞の極限で０となる。（証明は省略）

したがって、留数定理により、求める値 S(n,m)は
S(n,m)=- 1
n		 Res(z-n f’(z,n,m)
f(z,n,m)		，z=0)・・（式９）
で求められる。

（式６）の級数展開を用いると
f’(z,n,m)
zn･f(z,n,m)
=m
zn+1		-πn･nm！
(n+m)!･ｚ		+Ｏ(ｚn-1）・・（式10）（０≦ｍ＜ｎ）
が成立するから

S(n,m)= πn･m！
(n+m)!		 ・・（式11）（０≦ｍ＜ｎ）
S(n,n)=S(n,0)

【問題１】

S(3,0)=π3
6

【問題２】

S(4,0)=π4
24

【問題３】

S(2000,m)=π2000 (m mod 2000)！
(m mod 2000 ＋ 2000)！

◆沖縄県　jpgr さんからの解答。

【問題２】

xを正の実数とすると、
cosh(π*x
 ) ＞ 0が成り立つので、
与えられた式は　cos(π*x
 ) = 0と書けます。

cos(X) = 0の正の解を小さい順に
X1,X2,X3, ... とおくと、
X1 =π
2		 、X2 =3π
2		 、X3 =5π
2		 、...、Xn=(2n - 1)π
2

となりますので、与式を満たす正の実数解　xnは
xn= Xn
π		 = 2n - 1
 となり、
1
(xn)4		 =4
(2n - 1)4		 となります。

つまり

1
x14		 +1
x24		 +1
x34		 + ...
= 4( 1
14		 +1
34		 +1
54		 + ... + +1
(2n - 1)4		 + ... )　---[1]

ここで、(反則ですが)オイラーの無限和の公式を証明なしに用います。

1
14		 +1
24		 +1
34		 + ... = π4
90		 　---[2]

これを1
24		 倍して

1
24		 +1
44		 +1
64		 + ... =π4
24*90		 　---[3]

[2]、[3]から
1
14		 +1
34		 +1
54		 + ... =15
16		 *π4
90

これを4倍すると[1]と一致するので、求める解は
4* 15
16		 *π4
90		 = π4
24

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