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◆神奈川県 今村 義彦 さんからの解答。
問１「三角形」で、ミサイルの飛ぶ距離Lはいくらか？
頂点A、B、Cからそれぞれミサイルが等速度V(0)で飛ぶので、任意の時刻で頂点A、B、Cがなす三角形は正三角形である。
したがって、最終的にこれらの３つのミサイルが命中する場所は、三角形の中心点である。
(ほぼ自明。)
三角形の中心からA、B、Cそれぞれの点を見た場合、ミサイルの進行方向は任意の時刻で中心に無かって常に(π/6)ずつずれている。
なぜならば、三角形の頂点の内角は、
| π - 2π÷3＝ | π ―― 3 |
| これを2でわり、 | π ―― 6 |
次に、ミサイルが進む中心方向の速度成分は、
| v(0) * cos( | π ―― 6 | ).... (1) |
次に、初期条件から、中心から頂点A、B、Cまでの距離R(0)は、
三角形の１辺をD(0)と仮定して、
| R(0) = | D(0) ――― | .... (2) |
式(1)と(2)から、ミサイルが命中する時間Tは、
| T = | R(0) ――― V(0) |
| = | D(0) ――― | ÷V(0)cos( | π ―― 6 | ) |
ところで、ミサイルは等速度V(0)で飛んでいるので、時間Tで積分して(線積分しても同じ)、命中するまでに飛ぶ距離Lは、
| = | D(0) ――― | ÷cos( | π ―― 6 | ) |
| = | 2D(0) ――― 3 |
ここで、D(0)=600Kmであるから、
L = 400Kmとなる。
答え：400Km
問2「六角形」で、ミサイルの飛ぶ距離Lはいくらか？
頂点A、B、C、D、E、Fからそれぞれミサイルが等速度V(0)で飛ぶので、任意の時刻で頂点A、B、C、D、E、Fがなす六角形は正六角形である。
したがって、最終的にこれらの６つのミサイルが命中する場所は、六角形の中心点である。
(ほぼ自明。)
六角形の中心からA、B、C、D、E、Fそれぞれの点を見た場合、ミサイルの進行方向は任意の時刻で中心に無かって常に(π/3)ずつずれている。
なぜならば、六角形の頂点の内角は、
| π - 2π÷6＝ | 2π ―――― 3 |
| これを2でわり、 | π ―― 3 |
次に、ミサイルが進む中心方向の速度成分は、
| v(0) * cos( | π ―― 3 | ).... (1) |
次に、初期条件から、中心から頂点A、B、C、D、E、Fまでの距離R(0)は、六角形の１辺をD(0)と仮定して、
R(0) = D(0) .... (2)
である。
式(1)と(2)から、ミサイルが命中する時間Tは、
| T = | R(0) ――― V(0) |
| = | D(0)÷V(0)cos( | π ―― 3 | ) |
ところで、ミサイルは等速度V(0)で飛んでいるので、時間Tで積分して(線積分しても同じ)、命中するまでに飛ぶ距離Lは、
L = V(0) * T
| = | D(0)÷cos( | π ―― 3 | ) |
| =2D(0) |
ここで、D(0)=600Kmであるから、
L = 1200Kmとなる。
答え：1200km
問3「n角形」で、ミサイルの飛ぶ距離Lはいくらか？
頂点A1、A2、A３、...、Anからそれぞれミサイルが等速度V(0)で飛ぶので、任意の時刻で頂点A１、A２、A３、...、Anがなすｎ角形は正ｎ角形である。
したがって、最終的にこれらｎ個のミサイルが命中する場所は、n角形の中心点である。
(ほぼ自明。)
ｎ角形の中心から各頂点を見た場合、ミサイルの進行方向は任意の時刻で中心に向かって常に
(n - 2)π/2nずつずれている。
なぜならば、n角形の頂点の内角は、
| π - 2π÷n＝ | (n - 2)π ―――――― n |
| これを2でわり、 | (n - 2)π ―――――― 2n |
次に、ミサイルが進む中心方向の速度成分は、
| v(0) * cos( | (n - 2)π ―――――― 2n | ).... (1) |
次に、初期条件から、中心から各頂点までの距離R(0)は、ｎ角形の１辺をD(0)と仮定して、
| R(0) = | D(0) ―――― 2 | * | 1 ―――――― sin(2π/2n) |
| = | D(0) ―――― 2 | * | 1 ―――――― sin(π/n) |
| = | D(0) ―――――――― 2sin(π/n) | .... (2) |
である。
式(1)と(2)から、ミサイルが命中する時間Tは、
| T = | R(0) ―――― V(0) |
| = | D(0) ―――― V(0) | * | 1 ―――――――――――――― 2cos{(n - 2)π/2n}sin{π/n} |
ところで、ミサイルは等速度V(0)で飛んでいるので、時間Tで積分して(線積分しても同じ)、命中するまでに飛ぶ距離Lは、
L = V(0) * T
| = D(0) * | 1 ―――――――――――――― 2cos{(n - 2)π/2n}sin(π/n) |
| = | D(0) ―― 2 | * | 1 ――――――――――――――――――――――――― {cos(π/2)cos(π/n) + sin(π/2)sin(π/n)}sin(π/n) |
| = | D(0) ―― 2 | * | 1 ――――――――――――― sin(π/n)sin(π/n) |
| = | D(0) ――――――――――――― 2sin(π/n)sin(π/n) |
ここで、D(0)=b(Km)であるから、
| L= | b ――――――――――――― 2sin(π/n)sin(π/n) | (Km)となる。 |
| 答え | b ――――――――――――― 2sin(π/n)sin(π/n) | (Km) |
【コメント】
見事正解です。
水の流れ さんの問題からスタートして、面白い結果を得ることができました。
いわゆる出あい算や追いかけ算ですが、三角形、六角形の場合は美しいですね。