（１）ＢＣを一辺とする正三角形ＢＤＣをＡの反対側に作図します。
（２）三角形ＢＤＣの外接円ＢＦＤＣＥＢを作図します。
（３）円弧ＢＣの中点をＥとします。
（４）ＡＤに平行でＥを通る直線を引き、円弧ＢＤＣとの交点をＦとします。
（５）ＦＢを通る直線とＦＣを通る直線を引きます。
（６）Ａを通りＥＦに垂直な直線を引き、（５）で引いた直線との交点をＨ，Ｇとします。
（７）三角形ＨＦＧは正三角形で最大のものです。
【証明：正三角形であること】
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【作図方法】
３点をＡＢＣとします。
（１）ＢＣを一辺とする正三角形ＢＤＣをＡの反対側に作図します。
（２）三角形ＢＤＣの外接円ＢＦＤＣＥＢを作図します。
（３）円弧ＢＣの中点をＥとします。
（４）ＡＤに平行でＥを通る直線を引き、円弧ＢＤＣとの交点をＦとします。
（５）ＦＢを通る直線とＦＣを通る直線を引きます。
（６）Ａを通りＥＦに垂直な直線を引き、（５）で引いた直線との交点をＨ，Ｇとします。
（７）三角形ＨＦＧは正三角形で最大のものです。
【証明：正三角形であること】
ＥＦの延長とＨＧとの交点をＭとします。
円周角の定理により
∠ＢＦＥ＝∠ＢＤＥ＝３０度
∠ＣＦＥ＝∠ＣＤＥ＝３０度 です。
また、ＨＧ⊥ＦＥＭ です。
従って、∠ＦＨＭ＝∠ＦＧＭ＝６０度
よって△ＨＦＧは正三角形です。
なお、本定理の証明においてＥＦ//ＡＤは用いておらず、Ｆ位置は円弧ＢＤＣ上任意で成立します。
【証明：最大であること】
最大である≡高さＦＭが最長である ので後者を証明します。
Ｆが円弧ＢＤＣ上を移動するとき、長さＦＥＭはＥＤおよびＥＡのＦＥＭへの射影の和になっています。
なぜならＥＭ⊥ＡＭ であり、ＥＤは直径なので ＥＦ⊥ＤＦだからです。
よってＦＭが最長になるのは、ＦＭすなわちＥＦがＡＤに平行のときです。
なお、Ａの反対側でＦが円弧ＢＤＣ上以外にあるときは∠ＢＦＣ≠６０度であり、正三角形ではありません。
また、Ａの側にある場合、ＡＤの長さ＝ＦＭ最長長さはあきらかに、Ａの反対側にある場合ＡＤの長さより短いです。
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisanさん、解答ありがとうございます。
みごと正解です。
それにしても、うまい作図方法があるものですね。
ちなみに、与えられた３点をＡ,Ｂ,Ｃとしたときの、私が考えていた作図方法は以下でした。
△ＡＢＣの外側にＡＢ,ＡＣをそれぞれ１辺とした２つの正三角形を描き、
これら２つの正三角形の外接円をそれぞれ描く。
２つの外接円の２交点の内でＡでない交点をＰとする。
Ａを通りＡＰに垂直な直線と、Ｂを通りＢＰに垂直な直線と、Ｃを通りＣＰに垂直な直線を、それぞれ引く。
この３本の直線によってできた三角形が求める最大正三角形となる。