『マラソン大会』解答
◆山梨県 もっち さんからの解答。
私は必ず存在するといえると思います。
まず、Ａ君の平均は、３分で１ｋｍ走ることができます。
ただし、Ａ君は３分あたりに１ｋｍの速度で常に走っているとはいえません。
しかし、平均ということは、この３分あたり１ｋｍより速いときもあれば、遅いときもあるということです。
（証明）
Ａ君が出発したあと、３分後に３分前のＡ君と全く同じ動きをするゴーストＡ君が出発するとします。
Ａ君との差は必ず３分なので、全ての場合において、この２人の距離が１ｋｍになれば、題意は成り立つといえます。
@）
Ａ君が始め、３分１ｋｍ以下の速度で走っていたとき、ゴーストＡ君との距離は１ｋｍ以下ですが、どこかでペースをあげないと、ゴールに間に合いません。
ペースを３分１ｋｍ以上にあげないとならないので、そうすると、ゴーストＡ君との距離が１ｋｍ以上になります。
距離が離れるときに、一瞬でも必ず２人（？）の距離が１ｋｍになるときがあります。
そうならないためには、瞬間移動しかありませんので、物理的にあり得ません。
A）
Ａ君が始め、３分１ｋｍ以上の速度で走っていたとき、ゴーストＡ君との距離は１ｋｍ以上あります。
このままゴールできれば良いのですが、５ｋｍを１５分ということなので、どこかでペースを落とすか止まるかしなくてはなりません。
ペースを落とす、または止まってしまえば自分と全く同じ動きをするゴーストＡ君ですから、一瞬でも３分１ｋｍ以下になろうものなら、２人の距離が１ｋｍをきってしまいます。
この１ｋｍの境目が必ずあります。
B）
Ａ君が常に一定のペースのとき、
この場合は、常に３分１ｋｍのペースなので問題なし。
@〜Bより、Ａ君とゴーストＡ君の距離が１ｋｍになるときが必ず存在するといえます。
よって、３分ちょうどで走った１キロの区間が必ず存在するといえます。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【解答】 いえない。
反例：
（１）出遅れた
（２）コース間違えた
（３）トイレに駆け込んだ 等 速度０状態を含む場合。
【感想】
素直に考えた最初は引っかかりました。Хорошо!
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
反例
Ａ君は昨日、徹夜でテレビゲームをしていたので眠くてたまらない。
出発ゲートで寝てしまいスタートの合図にも気づかない。
はっと目がさめたらもう出発の合図から１４分たっていた。
Ａ君はあわててスタートして超人的な走りで５キロを１分で走破した。
◆東京都の高校生 MATIX さんからの解答。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
これに対して反論
速度０状態を含む場合。
これは、次のことが考えられます。
０≦ｔ≦１４のとき、ｖ＝０(km/h)
１４≦ｔ≦１５のとき、ｖ＝３００(km/h)
ありえなそうですが、このとき、１４分１２秒のとき、１キロ地点を通過します。
つまり、１１分１２秒から、１４分１２秒にかけて、１キロ走ったことになります。
ここで、この問題の趣旨を考えたいと思います。
ｔ分後にいる地点をｆ(ｔ)ｋｍとおきましょう。
この問題では、３分間で走った距離が１キロになることがあるかどうかなので、
ｆ(ｔ＋３)−ｆ(ｔ)＝１ (０≦ｔ≦１２)
を満たすｔが存在するかです。
ここで、現代の社会において、ワープは使えません。(これ重要。)
つまり、ｆ(ｔ)は連続なのです。
ここで、ｆ(ｔ)の値についてですが、スタート地点より前のほうに走ったとかゴールを通過したということが
ないものとして考えると、
０≦ｆ(ｔ)≦１５
となります。
ここで、Ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋３)−ｆ(ｔ) (０≦ｔ≦１２)
と定義すると、
−１５≦Ｆ(ｔ)≦１５ (０≦ｔ≦１２)
となるでしょう。(若干幅は広くしています。)
Ｆ(ｔ)は連続だから、（ｆ(ｔ)は連続なので。）
Ｆ(ｔ)＝１ ０≦ｔ≦１２ を満たすｔ が存在する。
つまり、３分ちょうどで走った１キロの区間が必ず存在するといえる。
ただし、ここで、ワープというものがない、現代社会の場合であることに注意してほしい。
◆東京都の中学校２年生 青のトランプ さんからの解答。
速度０を含んでいたとしても大丈夫だと思います。
Ａ君があわててスタートして超人的な走りで５キロを１分で走破したとしても
走り始めてから１１分１２秒後から１４分１２秒後までの３分間に１キロちょうど走っています。
しかし途中で引き返したりすると話は別になると思います。
つまり走った距離の合計が５キロを超えた場合は反例が発生します。
反例
常に１分１キロの速さで走り続けゴールが近くなったらそのあたりを同じ速さのままうろうろ
して１５分たった時にゴールする。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【答え】
いえます。
【証明】
走行距離XqからX＋１qまでに要する時間をF(X)とすると、
関数F(X)は０≦X≦４において連続です。
● F(０),F(１),F(２),F(３),F(４)のどれかが３のとき
明らかに、３分ちょうどで走った１キロの区間は存在します。
● F(０),F(１),F(２),F(３),F(４)のどれも３でないとき
F(０)＋F(１)＋F(２)＋F(３)＋F(４)＝１５ より、
F(０),F(１),F(２),F(３),F(４)のどれも３未満であることはあり得ません。
それ故、５つの内の少なくとも１つは３より大きい筈です。
同様に、F(０),F(１),F(２),F(３),F(４)のどれも３より大きいこともあり得ません。
それ故、５つの内の少なくとも１つは３未満の筈です。
ですから、F(ｐ)＜３＜F(ｑ)となるｐとｑが必ず存在します。
（ただし、ｐ,ｑはｐ,ｑ∈(０,１,２,３,４)です。)
よって、中間値の定理よりF(ｒ)＝３となるｒが必ず存在する筈です。
（ただし、ｐ＜ｒ＜ｑ または ｐ＞ｒ＞ｑ）
証明は終わりです。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
「走った距離は５キロ、タイムは１５分でした。」が、厳密さに若干欠けるため、
A君は「１５分間で５キロ走った」あるいは「１５分間で出発地点からコース上５キロ先にある地点に到着した」
の２通りの解釈が存在します。
前者のばあい、仮にコースに関係ないところを自由に走ったとしても、明らかに３分ちょうどで走った１キロが存在します。
後者のばあい、コースを逆戻りするのが青のトランプさんの反例ですが、１５分間はコース上にいるのでやはり連続です。
すると、出発地点からコース上を最初にXキロ進んだときから、コース上をさらに１キロ先に進んだ地点に最初にいるときまでの時間を、私が先の解答で示したF(X)と考えれば、
やはり F(０)＋F１＋F２＋F３＋F４＝１５ が成立します。
よって、中間値の定理が同様に成立し、コースを逆戻りしても常にコース上にいるのなら反例にはなりません。
つまり、１５分間すべてにコース上の速度が存在するのなら、速度がマイナスも速度が０同様に反例になりません。
強いて反例をあげるなら、後者の解釈でコース以外で時間を費やしたときです。
このとき、その時間はコース上の速度は存在しませんから、グラフはその時間の分が明らかに消え連続ではありません。
ですから、最初の２分３０秒でコースを２．５キロ走り、そこでコースから外れたところをぐるりと１０分間走り、
マラソン開始から１２分３０秒後にコースに戻り、残り半分の２．５キロを２分３０秒で走るのは反例になります。
なぜなら、「３分ちょうどで走った１キロの区間が必ず存在するといえるでしょうか？」と言われても、コースを走った連続３分間は存在しません。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
x=f(t) を用いると f∈０級連続関数on[0,15] なので 確かにＹＥＳです。
でもt=g(x)を用いた場合はgは g∈連続関数 とは限らないのでＮＯの場合があります。
つまり問題文において１ｋｍの区間があるかと問うているのでＮＯです。
もし１ｋｍ移動する３分間があるかと問われればＹＥＳです。
もっとも、止まったｘ地点の通過時間の記録を例えば１１分から１２分の全てと考える場合は別です。
こうなるとラップタイムの定義の問題です。
その場合、問題の１ｋｍに対して複数の走行時間が存在するので 「３分ちょうど」というのが適当な表現か、やはり引っかかります。
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