（●：消去される人）
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
問題１
２３番から時計回りに進めると確かに１５人すべての継子を排除出来ます。
しかし話の後半部分の自分から進めて最後に自分が残るというのは嘘ですね。
２１番目でスタートした人は必ず消えてしまいます。
１）２−２９
２）３−３０
３）４−１
４）５−２
５）６−３
６）９−６
７）１０−７
８）１５−１２
９）１７−１４
１０）１８−１５
１１）１９−１６
１２）２１−１８
１３）２２−１９
１４）２５−２２
１５）２７−２４
以上半々の確率になります。
インチキは見破られて逆手にとられますね。
【コメント】
２３番からスタートで正解です。
最後の一人の６番が除かれる直前の状態から、６番を最初にしてやり直すと、実子がうまく消えていくと思います。
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
円形配置を直線配置にし、残った者を後に配置、最後の一人になるまでつづけます。
（●：消去される人）
すると、最後尾、最後尾から２人目、そこから４人目、さらに８人目が最後まで生き残った者になります。
これは、他の人数でも同じになります。
そこで、１列の最後尾から２、４、８・・・と数えてゆけばよい。
| １周目は Ｎ、２周目は | ［ | Ｎ ２ | ］、３周めは［ | Ｎ ４ | ］ |
| ［ | Ｎ ２S | ］なので |
| Ｌ＝Ｎ＋ | ［ | Ｎ ２ | ］＋［ | Ｎ ４ | ］＋・・・＋２＋１ |
| ＝ | ２S+1−１ ２S | −Ｎ |
| ＝２S+1＋２Ｑ−１ （＝２Ｎ−１ 全長） |
すなわち「ｆ(ｎ)はｎを２進数で表し、その先頭の１を末尾に移した数」になる。
【コメント】
実は、Ｋ番目ごとに選んでいったときの性質も問題にしようかと思っているのですが、なかなか大変ですね。
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
『まま子立てＫ人び』
「ままこ立て」のＫ人飛びの場合についての結果をお知らせします。
配置を０から始まる番号にし、ｎ人の場合０〜ｎー１とします。
Ｋ＝２ ｎ＝１１のばあい。
このとき残される人（番号）は次の数列のｎ番目で表される。
ｆ(0)＝０
ｆ(n)＝｛ｆ(n-1)＋Ｋ｝MOD(n)
（Ｋ＝２ 二人飛び）
| ｎ | ｆ(n-1) | ｆ(n-1)＋Ｋ | ｆ(n) |
| １ | ０ | ２ | ０ |
| ２ | ０ | ２ | ０ |
| ３ | ０ | ２ | ２ |
| ４ | ２ | ４ | ０ |
| ５ | ０ | ２ | ２ |
| ６ | ２ | ４ | ４ |
| ７ | ４ | ６ | ６ |
| ８ | ６ | ８ | ０ |
| ９ | ０ | ２ | ２ |
| 10 | ２ | ４ | ４ |
| 11 | ４ | ６ | ６ |
| 12 | ６ | ８ | ８ |
| ｎ | ｆ(n-1) | ｆ(n-1)＋Ｋ | ｆ(n) |
| １ | ０ | ３ | ０ |
| ２ | ０ | ３ | １ |
| ３ | １ | ４ | １ |
| ４ | １ | ４ | ０ |
| ５ | ０ | ３ | ３ |
| ６ | ３ | ６ | ０ |
| ７ | ０ | ３ | ３ |
| ８ | ３ | ６ | ６ |
| ９ | ６ | ９ | ０ |
| 10 | ０ | ３ | ３ |
| 11 | ３ | ６ | ６ |
| 12 | ６ | ９ | ９ |
以下どのようなＫについても成立します。証明は大変そうです。
また、Ｋ＝２のときの
２（Ｎー２s）＋１
の様な簡単な関係はまだ見つかっていません。
【コメント】
非常にきれいな式なので、成り立つのではないかと思うのですが、確認できていません。
どなたか証明していただけませんか。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題３】
漸化式は以下になります。
ｆ(1)＝１
ｆ(ｎ)＝{ｋー１＋ｆ(ｎ−１) }ＭＯＤ(ｎ)＋１
【証明】
１人で円を作る場合は最後に残るのは当然１番の人です。
∴ ｆ(１)＝１
(ｎ−１)人で円を作りｋ番目ごとに除いていき、
数え始めたＰからｆ(ｎ−１)番目の人が最後に残ったものとします。
そこで、Ｑを入れて ｎ人にしてみます。
ＱをＰよりＫ人手前の位置に入れＱから数え始めると、Ｐの１人手前の人が必ず最初に除かれます。
すると、人数は(ｎ−１)人に戻り、Ｐから数え始めることになります。
これは初めの場合とまったく同じですから、
やはりＰから数え始めてｆ(ｎ−１)番目の人が最後に残る筈です。
実際に数え始めたＱからは{ｋ＋ｆ(ｎ−１)}番目の人になります。
ところが、ｋ＋ｆ(ｎ−１)＞ｎ の場合もあるので、ｎ人で円を作り最後に残る人は、数え始めたＱから、
[{ｋー１＋ｆ(ｎ−１)}ＭＯＤ(ｎ)＋１]番目の人になります。
∴ ｆ(ｎ)＝{ｋー１＋ｆ(ｎ−１)} ＭＯＤ(ｎ)＋１
証明は終わりです。
ｋ＝３の例を以下に示します。
| ｎ | {２＋ｆ(n-1)}ＭＯＤ(n)＋１ | ｆ(ｎ) |
| １ | １ | |
| ２ | (２＋１)ＭＯＤ( ２)＋１ | ２ |
| ３ | (２＋２)ＭＯＤ( ３)＋１ | ２ |
| ４ | (２＋２)ＭＯＤ( ４)＋１ | １ |
| ５ | (２＋１)ＭＯＤ( ５)＋１ | ４ |
| ６ | (２＋４)ＭＯＤ( ６)＋１ | １ |
| ７ | (２＋１)ＭＯＤ( ７)＋１ | ４ |
| ８ | (２＋４)ＭＯＤ( ８)＋１ | ７ |
| ９ | (２＋７)ＭＯＤ( ９)＋１ | １ |
| １０ | (２＋１)ＭＯＤ(１０)＋１ | ４ |
| １１ | (２＋４)ＭＯＤ(１１)＋１ | ７ |
| １２ | (２＋７)ＭＯＤ(１２)＋１ | １０ |
【補足】
「斉藤誠さん」は０番〜(ｎー１)番としているので漸化式が
ｆ(０)＝０
ｆ(ｎ)＝{ｆ(ｎ−１)＋Ｋ} ＭＯＤ(ｎ)
となってますが、基本的には一緒です。
一般に、ｙ ＭＯＤ(ｘ) を (ｙー１) ＭＯＤ(ｘ)＋１とさせると、
０,１,２,…,(ｘ−１) は １,２,３,…,ｘ になります。