◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
１，７，１０，１３，１９，２３，２８，
３１，３２，４４，４９，６８，７０，
７９，８２，８６，９１，９４，９７，１００。
上記の２０個がある。
【問題２】
４，１６，３７，５８，８９，１４５，４２，２０，４，
上記の無限ループに入る。
【問題３】
ラッキーナンバーの性質でもなんでもないが、例えば１３がラッキーナンバーとして与えられたとする。
１３，３１（並びかえる。）
１３０，１０３，３１０，３０１（×１０ 並びかえる。）
１３００，１０３０，１００３，３１００，３０１０，３００１（×１００）等。
その２）
与えられた数がラッキーナンバーであれば、定義にしたがって実際に演算して現れる数（１になるまでの経過中の数）はすべて、ラッキーナンバーである。
これも性質と言うより当然のことですが。
【コメント】
清川さんは当然のことと書かれていますが、このような性質を指摘して欲しかったのです。
各桁の数字を入れ替えたり、０を挿入してもやはりラッキーナンバーになるということですね。
さらにあるラッキーナンバーが与えられたときに、その一つ手前のラッキーナンバーを構成することもできるので考えてみてください。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題３】
例えば、１３はラッキーナンバーですが、
１３＝９＋４＝９＋１×４＝４＋１×９＝１×１３
などから、
３２，３１１１１，２１１１１１１１１１，１１１１１１１１１１１１１
などを作ることができます。
（またはその並び替え、および適当に０を挿入する）
さらに、３２＝２５＋４＋１×３などから、
５２１１１ などを作れます。
極端な例では１をあるラッキーナンバーだけ並べれば、いくらでもできます。
１１１１・・・・・・１１１１（１１１１１１１１１１１１１桁）など。
【コメント】
ラッキーナンバーを１桁の数の平方の和に分解できればＯＫなのですね。
１を使えるので、確かにいくらでも作れますね。
◆静岡県 conejo さんからの解答。
任意の自然数を与えたとき，その自然数の各桁の２乗の和をとって新しい数を作る，という操作を続けると き，１に収束するか，（４，１６，３７，５８，８９，１４５，４２，２０，４）のループになる。
∵
n≧4のとき10n-1＞81nであることが帰納法により証明される。
k桁（k≧4)の数から始めると，
最初にとる各桁の２乗の和＜92*k=81k＜10k-1
したがって，k-1桁以下になる。
ここでまた４桁以上であるなら繰り返すことにより３桁以下に帰着する。
よって１〜９９９までを考えれば十分である。
これらはすべて題意をみたす。
（プログラムで求めました。）