◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
| log２＝ | ln2 ―――― ln10 | (log は常用対数、ln は自然対数） |
| １ ―――― ln10 | ＝0.4343より、 |
ln(x+1) を級数展開すると
| ln(x+1)=x− | x2 ―― 2 |
＋ | x3 ―― 3 |
− | x4 ―― 4 |
＋ | ・・ |
| ln２=1− | 1 ―― 2 |
＋ | 1 ―― 3 |
− | 1 ―― 4 |
＋ | 1 ―― 5 | ・・ |
＃でも大変そう(^^;
【コメント】
実はこの級数は収束の悪いことで有名なので、小数点以下４〜５桁程度までだすには、何万回以上まで計算する必要があると思います。
私も計算する自信はありません。(^_^;
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
収束の早い級数がありました。
第４項までの計算で４桁位の精度です。
手計算となると計算回数を少なくするためもう少しまとめなくては。
【コメント】
大幅に手数が軽減されましたね。
さらに軽減するためにヒントを出すと、この問題は自然対数を求めるのではなく、常用対数を求めるのであると
いうことに着目してください。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
斉藤さんの解答の意味がわかりました。
マクローリン展開を使っておられるのですね。
| log(1+x)=x- | x2 ――― ２ | + | x3 ――― ３ | - | x4 ――― ４ | ・・・1) |
| log(1-x)=-x- | x2 ――― ２ | - | x3 ――― ３ | - | x4 ――― ４ | ・・・2) |
自然対数で、収束の条件は、−１＜x＜＝１
1)-2)
| log( | 1+x ――― 1-x | )=2(x+ | x3 ――― ３ | + | x5 ――― ５ | ・・・)・・・・3) |
| 1+x ――― 1-x | ＝２・・・・4) |
| x= | 1 ―― 3 | のとき |
| 1+x ――― 1-x | ＝χ |
xについて解くと
| x＝ | χ-1 ―――― χ+1 |
【コメント】
これは相当優秀な方法だと思われます。
ただのlog(1+x)の級数展開よりはずっと収束がよくなりますね。
別の方法としては、２3＝８が常用対数の底である１０に近いことを利用する方法が有力です。
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
１０＝８×１．２５を利用するんですね
底を２とする対数をとると
log2１０
＝log2(２3・１．２５)
＝３＋log2１．２５
＝３＋log10１．２５× log2１０
log2１０ (１− log10１．２５)＝３
整理し逆数をとると
| log10２ |
| ＝ | １ ――――――――― log210 |
| ＝ | １− log10１．２５ ――――――――― ３ |
| ＝ | １− ln１．２５×log10ｅ ――――――――――――― ３ |
ここでln１．２５ に収束の早い級数を使うと
| ln | ５ ―― ４ |
| ＝２( | １ ―― ９ | ＋ | １ ―― ３ | × | １ ――― ９3 | ) |
| ＝約 0.22222 + 0.00066 + 0.00020 |
| ＝0.22303 （概算した） １０００分の１の３割増し |
| log102＝ | 1 - 0.22303 × 0.4343 ――――――――――― ３ | ＝0.30105 |
| （誤差 log２ + | ３ ――――――― 1000000 | ) |
びっくりするほど簡単になりました。
真数と底の関係がとてもおもしろいですが、わすれていました。
【コメント】
工夫をこらした独創的な解答で、思わず感心しました。
すでに十分手計算で計算できますね。
この問題はまだまだいろいろな解法がでてきそうです。
とんでもない方法もありそうです。
◆石川県 青木（私です）からの解答。
誰もそんな馬鹿なことはやらないと思うので、自分でニュートン法で解いてみました。
お遊びだと思って読んでください。
ｅx＝２を解けばよいのですから、その展開式を用いて、
| Ｆ(x)=1+x+ | x2 ―― 2! |
＋ | x3 ―― 3! |
＋・・＋ | x7 ―― 7! | −２ |
とし、Ｆ(x)＝０をニュートン法で解きます。
（７乗までで精度は充分でしょう。）
また第一近似ｘ1＝０．７はすぐ見当がつきます。
| Ｆ′(x)=1+x+ | x2 ―― 2! |
＋ | x3 ―― 3! |
＋・・＋ | x6 ―― 6! |
| Ｆ′(x)＝Ｆ(x)＋２− | x7 ―― 7! | ・・(1) |
| 第２近似x2＝０．７− | Ｆ(0.7) ――――― Ｆ′(0.7) |
x2＝０．６９３１・・
かなり大変ですが、手計算で可能な範囲でした。
第１近似がよかったこととｅxの収束のよいことが、大きな理由だと思います。
◆石川県 青木からの解答。
こんどは、シンプソン公式で解いてみました。
お遊びだと思って読んでください。
| logeｘは | １ ――― ｘ | を積分したものであるから |
これをシンプソンの公式で計算します。
この公式は区間［ａ，ｂ］をｎ等分（偶数）した場合、
Ｓ＝h/3×(f0+4f1+2f2+4f3+・・+2fn-2+4fn-1+fn)
ただし fi＝f(xi) xi＝ａ＋iｈ
| ｈ＝ | ｂ−ａ ―――― ｎ |
今、十等分して計算すると、
ｈ＝０．１
f0＝１÷１＝１
f1＝１÷１.１＝０.９０９０９
f2＝１÷１.２＝０.８３３３３
f3＝１÷１.３＝０.７６９２３
f4＝１÷１.４＝０.７１４２９
f5＝１÷１.５＝０.６６６６６
f6＝１÷１.６＝０.６２５
f7＝１÷１.７＝０.５８８２３
f8＝１÷１.８＝０.５５５５５
f9＝１÷１.９＝０.５２６３２
f10＝１÷２＝０.５
４×f1＝3.63636
２×f2＝1.66666
４×f3＝3.07692
２×f4＝1.42858
４×f5＝2.66664
２×f6＝1.25
４×f7＝2.35292
２×f8＝1.11111
４×f9＝2.10528
これらの数値を用いて計算すると
loge２＝０．６９３１５・・・
◆石川県 青木からの解答。
最初に想定していた解答を公開します。
| loge(x+1)=x− | x2 ―― 2 |
＋ | x3 ―― 3 |
− | x4 ―― 4 |
＋ | ・・(1) |
２3＝８が常用対数の底である１０に近いですから、
３log10２
| ＝log10８ |
| ＝１＋log10(１− | １ ―― ５ |
)・・(2) |
この式を使うと６乗の項まで取れば５桁まででます。
さらに優れた方法は
１０log10２
| ＝log10１０２４ |
| ＝３＋log10(１＋ | ２４ ―――― １０００ |
) ・・(3) |
実は問題の中に一つポイントがあります。
問題にはlog10ｅ＝0.4343・・・と４桁しか与えられていないのですが、
この式の右辺でlog10ｅは小さい項にしか掛からないので、充分すぎるくらいなのです。
この問題のポイントはlog10２は０．３に近い、
いいかえるとlog10２10は３に近いということに気づくかどうかでした。
なぜ０．３に近いかと考えれば、解答に一歩近づけたはずです。
その補正にテーラーの級数を使うのは自然でしょう。
同じようにπに近い数やｅに近い数もあります。
掲示板の中に関連した質問を書いておいたので、答えていただければありがたいです。
パソコンの世界では
２10＝１０２４が１０3＝１０００に近いことから、よく１キロという言い方をしますが、そのことにこだわった問題でした。