ほぼ合っている。
試行回数は各１０００回である。
【考察】
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
点A(k)と点A(k+1)が、弦A(j)A(j+1)で２分される円周の別々の側にあれば、
辺A(j)A(j+1)と辺A(k)A(k+1)は交わる。
よって関数
θ[-（a(j)-a(k))（a(j+1)-a(k+1))（a(j+1)-a(k))（a(j)-a(k+1))]
は辺A(j)A(j+1)と辺A(k)A(k+1)が交われば１、交わらなければ０
ここで、a(1)=a(n+1)=1,{a(2),a(3),...,a(n)}=｛2,3,...,n}は点Ａ（ｊ)のA(1)から円周上をまわり数えた順番で、その順列をＰであらわす。
テータ関数 θ(x)=1 ｘ＞0 , θ(x)=0 ｘ≦0
よって全交点数の期待値は
| 1 2(n-1)! |
Σ P | n Σ j=1 | n Σ k=1 |
θ[-（a(j)-a(k))（a(j+1)-a(k+1))（a(j+1)-a(k))（a(j)-a(k+1))] |
| ここで | Σ P | はすべての順列についての和をあらわす。 |
【コメント】
これで任意の数ｎについてコンピュータプログラムをつくり値を求めることはできます。
ｎの関数としてより簡単にあらわせるかどうかはわかりません。
◆東京都 サボテン さんからの解答。
以下ではいくつもの交点が重なるという特殊な状況は考慮しない。
以下点の結び方を配位Ωと呼ぶ。
1)1つの交点に対し、4つの点が対応する。
これらの点を円配置の昇順にA1,A2,A3,A4とする。
交点が生じる際の
点の結び方は
(A1,A3)(A2,A4)のみである。
2)次に4つの昇順の頂点A1,A2,A3,A4、ある配位Ωに対して、以下の特性関数χを導入する。
ΩがA1,A2,A3,A4を通る線分に関して交点を有する時、
χ(A1,A2,A3,A4:Ω)=1
交点を持たないとき、χ(A1,A2,A3,A4:Ω)=0
3)ある配位Ωに対する交点の個数は
Σ{A1,A2,A3,A4}χ(A1,A2,A3,A4:Ω)
ここでΣ{A1,A2,A3,A4}は全ての4つの頂点の組み合わせについて取るも
のとする。
次に配位Ωを取る確率をp(Ω)と書くと、交点の個数の期待値は
Σ{Ω}p(Ω)Σ{A1,A2,A3,A4}χ(A1,A2,A3,A4:Ω)
Σ{Ω}は全ての配位Ωに関する和を表す。
4)3)における和の順序を交換し、
Σ{A1,A2,A3,A4}Σ{Ω}p(Ω)χ(A1,A2,A3,A4:Ω)とする。
まず、Σ{Ω}p(Ω)χ(A1,A2,A3,A4:Ω)を計算する。
χ(A1,A2,A3,A4:Ω)が0でないのは
(A1,A3)(A2,A4)の組み合わせで線分を結ぶ配位のみである。
このような線分を含む配位Ω'についてのみ
和をとればよい。
以下ではA1=1として一般性を失わない。
1.1→A3・・・・A2→A4→・・・・の経路の場合
A2→A4を一つの点とみなすと、順列は(n-3)!
1→A3・・・・A4→A2→・・・・の場合も同様で(n-3)!
よって場合の数は合計2(n-3)!
2.1・・・・A2→A4・・・・A3→1や1・・・・A4→A2・・・・A3→1の場合
上と同様にして、合計2(n-3)!
円順列の場合の数は(n-1)!なので
1.2.の場合に限定した配位Ω'に関する和は
| Σ{Ω}p(Ω)χ(A1,A2,A3,A4:Ω)=Σ{Ω'}p(Ω')= | 4(n-3)! (n-1)! |
= | 4 (n-1)(n-2) |
| = | 4 (n-1)(n-2) |
Σ{A1,A2,A3,A4}(*) |
| n(n-1)(n-2)(n-3) 24 |
| よって(*)= | 4 (n-1)(n-2) |
* | n(n-1)(n-2)(n-3) 24 |
= | n(n-3) 6 |
【捕捉】
単純にn本の線の交点の数は全部でnＣ2。
| これから円上の交点n個を引いてnＣ2−n= | = | n(n-3) 2 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
| ｎ(ｎ−３) ６ |
【補題】
周長が１である円上に一様な確率で両端が存在する線分ＬとＭがあるとき、これらが交わる確率は３分の１である。
∵ Ｌの両端をＡ，Ｂ Ｍの両端をＣ，Ｄとする。
Ａに対してＢの位置を左回りにｘとするとき、ＬとＭが交差するのはＤがｘの区間にＣが（１−ｘ）の区間にあるときかその逆である。
| 従って、交差確率＝ | 1 ∫ 0 |
２ｘ(１−ｘ)dx＝ | １ ３ | である。 |
ｎ個の点の場合、辺もｎ個ある。
ある一辺Ｔを考えた場合、これと円周上以外で交差可能な辺の数はＴと両隣の２辺を除くｎ−３辺である。
それらｎ−３辺はＴの両端点とは独立な点を両端に持っている。
従って、Ｔとそれぞれの辺との交差確率は補題に従い、全体の期待値は
| ｎ(ｎ−３) ２ |
× | １ ３ | である。 |
モンテカルロ法で確かめてみた。
ほぼ合っている。
試行回数は各１０００回である。
【考察】
円周上ではなく、円盤上（面積で一様分布）ではどうなるかシミュレ−ションしてみた。
| ｎ(ｎ−３) ２ |
の係数の約０．１０２５を解析的に出すのは簡単ではないように思われる。 |
