◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
| Ａ | Ｂ | Ｃ | |
| １回戦 | １，２，３ | ４，５，６ | ７，８，９ |
| ２回戦 | １，４，７ | ２，５，８ | ３，６，９ |
| ３回戦 | １，５，９ | ３，４，８ | ２，６，７ |
| ４回戦 | １，６，８ | ２，４，９ | ３，５，７ |
題意を満たしているが、ローテイションの規則性がよくない。
【問題２】
１２人いるから１人は１１人と対戦しなくてはならない。
１試合で２人と対戦することになる。
１１÷２＝５．．．１
割り切れない。
したがって、不可能である。
答え 不可能である。
【コメント】
この問題にはいろいろな解法があるようです。
ラテン方陣とそれと直交するラテン方陣を使う方法。
図形的に考えて、三角形を回転させながら対戦相手を決める方法などです。
後者の方法で、２人ゲームを解くことも可能です。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
これも図形をいろいろ書きましたがどれも５回戦くらいで手詰まりになってしまいます。
で、前回の２人リーグ戦と同様、文献からの紹介です。
著書は２人リーグ戦のものと同じです。
原題は1850年イギリスのカークマン先生が出した15人の女生徒問題だそうです。
原題
「15人の女生徒が毎日3人ずつの5組に分かれて散歩するとき、1週間(7日間)のうちにどの女生徒も他のすべての女生徒と1回ずつ同じ組になるような組み合わせを作れ」というものです。
図形での求め方もあるようなのですが図形が複雑なので、別の方法を紹介します。
(かなり長いですが、理解は難しくありません。)
(問題３解答)
【結論】
1回戦 (1,2,8)(3,5,13)(4,7,9)(6,15,10)(11,12,14)
2回戦 (2,3,9)(4,6,14)(5,1,10)(7,15,11)(12,13,8)
3回戦 (3,4,10)(5,7,8)(6,2,11)(1,15,12)(13,14,9)
4回戦 (4,5,11)(6,1,9)(7,3,12)(2,15,13)(14,8,10)
5回戦 (5,6,12)(7,2,10)(1,4,13)(3,15,14)(8,9,11)
6回戦 (6,7,13)(1,3,11)(2,5,14)(4,15,8)(9,10,12)
7回戦 (7,1,14)(2,4,12)(3,6,8)(5,15,9)(10,11,13)
【求め方】
15人を
Aグループ7人(a,b,c,d,l,m,n)、Bグループ7人(A,B,C,D,E,F,G)、Cグループ1人(*) として
Aグループでは1から回し、7を超えたら1に戻す(7を法とする合同その1)、
Bグループでは8から回し、14を超えたら1に戻す(7を法とする合同その2？)
ことを使います。・・・・・((I2)
●１.
下記のような組み合わせ表を考える。
| テーブル1 | a | l | A |
| テーブル2 | b | m | B |
| テーブル3 | c | n | C |
| テーブル4 | d | * | D |
| テーブル5 | E | F | G |
上記に具体的に数字をあてはめてスタートとし、1ずつ加算したとき上記((I2)によりうまく回せるようにします。
但し*は固定して動かさない。
●２.
このとき、まずAグループでうまく相手が変わるように
l−a＝1
m−b＝2
n−c＝3 とします。
たとえばa＝1とすると、以下b,c,d,l,m,.nが定まり、1ずつ加算して上記((I2)を使うとうまく一巡します。
●３.
次に、いっせいに1を加算するとBグループどうしでも相手が変わるように
F−E＝1
G−F＝2
G−E＝3 とします。
●４.
もうひとつ最後に
A−a,A−l
B−b,B−m
C−c,C−m
D−d
は、1,2,3,4,5,6,7を分け合うとします。
(要するにそれぞれどれかが1,2,3,4,5,6,7になります。)
●５.
上記1.においてa＝1、l＝2、b＝3 とすると
上記2.より、m＝b＋2＝3＋2＝5
c＝4 とすると、
上記2.より、n＝c＋3＝4＋3＝7
d=6 となるので、上記1.は
| テーブル1 | 1 | 2 | A |
| テーブル2 | 3 | 5 | B |
| テーブル3 | 4 | 7 | C |
| テーブル4 | 6 | * | D |
| テーブル5 | E | F | G |
となります。
●６.
A＝8とすると、
上記4.より、A−a＝8−1＝7、A−l＝8−2＝6
となり、B,C,Dは9〜14のどれかとなります。
また、このとき上記4.は
B−b,B−m
C−c,C−m
D−d
は、1,2,3,4,5を分け合う
(要するにそれぞれどれかが1,2,3,4,5になります。)
となります。
●７.
B＝9とすると、
上記6.より、B−b＝9−3＝6 で不適
●８.
C＝9とすると、上記6.より、
C−c＝9−4＝5、C−n＝9−7＝2 でとりあえず候補とします。
このとき上記6.は
B−b,B−m
D−d
は、1,3,4を分け合う
(要するにそれぞれどれかが1,3,4になります。)
となります。
●９.
D＝10とすると、上記8.より、
D−d＝10−6＝4 でこれもとりあえず候補とします。
このとき上記8.は
B−b,B−m
は、1,3を分け合う
(要するにそれぞれどれかが1,3になります。)
となります。
●10.
B＝13とすると
B−b＝13−3＝10→3、
B−m＝13−5＝8→1(上記((I2)より) でこれもとりあえず候補とします。
●11.
残りE,F,Gで11,12,13,14のどれかとなりますが、
E＝11、F＝12、G＝14とすると
F−E＝12−11＝1、G−F＝14−12＝2、G−E＝14−11＝3 で、上記3.を満たします。
●12.
従ってすべての条件がクリアされているので
| テーブル1 | 1 | 2 | 8 |
| テーブル2 | 3 | 5 | 13 |
| テーブル3 | 4 | 7 | 9 |
| テーブル4 | 6 | * | 10 |
| テーブル5 | 11 | 12 | 14 |
をスタート(1回戦め)として、1回戦進むごとに*以外の各要素に1を加算し、((I2)にしたがって計算する。
(要するに、Aグループの1〜7では7を超えたら1に戻り、Bグループでは14を超えたら8に戻るようにする。)
但し、*は15で固定とする。
(感想)
とても巧妙なアイデアだと思います。
特に上記中、4.のE,F,Gの関係でBグループどうしの関係をうまくずらしていくところがすばらしいです。
図形による方法がわかるようでしたら教えてください。
蛇足：
3人ゲームのリーグ戦はＮを自然数として(６Ｎ＋３)のすべての場合で可能であるそうです。
また5人ゲームの25人でのリーグ戦組み合わせも可能だそうです。
◆東京都 合屋 さんからの解答。
【問題３】（１５人で７回戦）について平田さんの解答にある「７人のグループ２つを回す」をヒントに図形による方法を考えました。
［１５人をP01〜P15で表す］
まず、使用する図を描きます。
P15を中心にP01〜P07を円形に等間隔に配置します。
その外側にP08〜P15を 〃
この図で３点づつ結び（これが対戦相手）５つの三角形を作り、
その図を１／７周づつ回転させて７回戦分の対戦表とします。
三角形を作る際、図を回転させても、重なる線が無いようにする方法を説明します。
＠＠ 手順 ＠＠
説明の都合上、以下で次の用語を使用する。
角度の組み合わせが 1s、2s、3s以外
(と言っても「1s、1s、4s」と「2s、2s、2s」しか無いが)
の場合は回転することによって、線が重なる。
ここでは、P02-03-05で１つ目の三角形を作ることにする。
●Ｂ．
７つの点で結べる２点の角度は1s〜3sであり、１つ目の三角形で３つとも使用しているため、内側の点で残っている４つの点同士を結ぶ線が重なることになるため結べない。
これにより、２〜５つ目の三角形の作り方は内側の１点と外側の２点を結ぶ三角形を３つ と中心(P15)と内側、外側の１点を結ぶ三角形１つ しかありえない。
●Ｃ．
外側の円上の点を結び３本の線を結ぶ。
＊この時、３本の線の２点の角度は 1s、2s、3sとすること
角度の組み合わせが 1s、2s、3s以外の場合は回転することによって、線が重なる。
ここでは、
P09-13，P10-11，P12-14の３本を引くことにする。
●Ｄ．
内側で残っている４つの点とＣで結んだ３本の線を結ぶ組み合わせと２点の角度の表を作る。
| Ｐ０１ | Ｐ０４ | Ｐ０６ | Ｐ０７ | |
| P09-13 | 1s，5s | 5s，2s | 3s，0s | 2s，6s |
| P10-11 | 2s，3s | 6s，0s | 4s，5s | 3s，4s |
| P12-14 | 4s，6s | 1s，3s | 6s，1s | 5s，0s |
内側と外側を結ぶため、例えば同じ 1sでも
線分P01-09とP01-14は回転しても線が重ならない。
そこがＡ，Ｃと異なるので表内の角度は内側を基点とする角度で記す。
３つの点と３本の線を結んでできる６本の線についても回転させても線が重ならないように、６つの角度は６種類とする必要がある。
上記の表でこれを満たす組み合わせは
P09-13-04、P10-11-07、P12-14-06 と
P09-13-07、P10-11-06、P12-14-04 の２通りがあり、
どちらも 0s以外の６種類の角度が使用されている。
●Ｅ．
ここまでで、線を結んでいないP15-01-08が５つ目の三角形となる。
Ａ〜Ｄでは中心(P15)とは内側も外側も結んでいなかった為、５つ目の三角形との線の重なりはない。
重なる可能性があるのは内側と外側を結ぶ線 P01-08とＤで描いた６本の線であるが、
猶01-08＝0sに対しＤでは２通りとも 0s以外の角度を使っているため
P01-08とは重ならない。
以上により、５つの三角形の作り方として、
P02-03-05、P09-13-04、P10-11-07、P12-14-06、P15-01-08 P02-03-05、P09-13-07、P10-11-06、P12-14-04、P15-01-08の２種類ができました。
このいずれかを１回戦の組み合わせとして、図を１／７周づつ回転させれば、７回戦分の対戦表ができます。
＊実際には２回戦目以降の組み合わせは、内側の７人と外側の７人を平田さんの解答中のＡ，Ｂグループと対応させてＡ，Ｂグループ内でローテーションを行えば簡単です。
いくつかのパターンでやった限りではこの方法では５つの三角形の作り方は常に２通りできるようです。
◆東京都 合屋 さんからの解答。
平田さんからの解答の(感想)にある
「5人ゲームの25人でのリーグ戦組み合わせも可能だそうです。」は
ｎ人ゲームのｎ2人でのリーグ戦組み合わせについて可能です。
７人ゲームの場合
・全部で８回戦で１人が他の４８人と対戦する。
・１回戦につき７つテーブルで７人づつ対戦する。
図０のように４９人を７×７のマスに次の通り配置する。
| １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| ８ | ９ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
| 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 |
１〜８回戦の組み合せは図１〜８のようになります。
（マスの色が７つのテーブルに対応します。）
最初
図１
図２
図３
図４
図５
図６
図７
図８
これは、列＝グループとし、１回戦ごとに各グループから選出する人を１人ずつ下にシフトしながら選ぶことで対戦者を決めています。
例えば「１」を基準に２列目だけを見ていくと２，９，１６・・となっています。
７人以外の場合も同じ手法でできるのでMS-excelでｎ＝２〜１５の対戦表を作りました。
□人ゲーム には７を入れてあるので
□回戦の対戦表 に１〜８を順次入力すると図１〜８が数字で表示されます。
１〜ｎ回戦は横、ｎ＋１回戦目のみ縦にテーブル（組み合せ）を表しています。
◆東京都 合屋 さんからの解答。
『３人ゲームのリーグ戦』の対戦表を作るプログラム
以前、解答した図形による解き方をプログラム化したものです。
但し、「６Ｎ＋３」人で対戦表を作ることが可能とのコメントがありますが、このプログラムで作れるのは
「１２Ｎ＋３」人の対戦表です。
「１２Ｎ＋９」人の対戦表は作ることができません。
作成できる対戦表をすべて表示するまで終わりません。
途中で終わらせるには「中断」してください。