◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
| 将棋盤A | 将棋盤B | |
| １回戦 | １−２ | ３−４ |
| ２回戦 | １−３ | ２−４ |
| ３回戦 | １−４ | ２−３ |
【問題２】
| 将棋盤A | 将棋盤B | 将棋盤C | |
| １回戦 | １−２ | ３−４ | ５−６ |
| ２回戦 | １−３ | ４−５ | ２−６ |
| ３回戦 | １−４ | ５−２ | ３−６ |
| ４回戦 | １−５ | ２−３ | ４−６ |
| ５回戦 | １−６ | ３−５ | ４−２ |
（２ｎ−１）行（２ｎ）列の行列になっている。
問題１、問題２からローテイションの規則性がみられます。
【コメント】
見事正解です。
人数が多くなると、一般的な方法がないと苦しくなります。
ｎが偶数ならば、必ずできるような方法を工夫してください。
マニアックですが、この将棋盤の局面は私は大好きです。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
全然アイデア・法則が浮かばないので文献よりの引用となりますが、いろいろ応用できそうですので紹介します。
(文献：大村 平著 数理パズルのおはなし 日科技連)
【問題３】
図形を利用します。
n人で2人ゲームのリーグ戦を実施するとき、
●１.
円周上に等間隔に(n−1)個の点をとります。
●２.
中心を1の点とし、上記1.でとった円周上のどこか1点を2の点と決めます。
(2はどこにとっても結局同じです。)
●３.
2の点より右回りに以下、3、4、・・・・・・、n−1、nの点 ととります。
●４.
1の点と2の点を結ぶ線分をひき、この線分と垂直に交わる線分をひくと、この線分は円周より2の点を除いた点は(n−2)個なので、
(n−2)/2本ひけます。
具体的には、
3の点とnの点を結ぶ線分、4の点と(n−1)の点を結ぶ線分、・・・・・・というようにひきます。
●５.
この(n−2)/2本の線分の長さはすべて異なり、また1の点と2の点を結ぶ線分の長さとも異なります。
(※単位円を考えて、線分と中心とのなす角を考えると、
2π/(n-1)＝θとして円の中心より上は2θ、4θ、・・・・となり下はθ、3θ、・・・・・となるので、また、それぞれの線分の長さはπを含んだ数になるので)
●６.
上記5.に1の点と2の点を結ぶ線分を加えたn/2本の線分で1回戦ごとの両端を組み合わせとして考えます。
●７.
点の位置はもとのままにして、線分の形を崩さずに、右へ上記5.のθ分だけ回転させます。
具体的には、1の点と3の点を結ぶ線分、4の点と2の点を結ぶ線分、5の点とnの点を結ぶ線分、・・・・・
●８.
以下同様にして1回戦ごとに右へ上記5.のθ分だけ回転させます。
すると、1回転するうちにｎ/2種類の線分がそれぞれ(n−1)ずつの異なるペアを指定しますので、
合計(n−1)/2種類の異なるペアが指定されることになります。
(実際に具体的に図を書くと分り易いです。)
●９.
これはnC2＝(n−1)/2と一致しますし、どの場合でも必ずペアを組んでいて、重複等がありません。
以上より、n人で2人ゲームのリーグ戦組み合わせは可能です。
具体的に8人で2人ゲームのリーグ戦組み合わせを作ってみますと
1回戦 (1,2)(3,8)(4,7)(5,6)
2回戦 (1,3)(2,4)(5,8)(6,7)
3回戦 (1,4)(2,6)(3,5)(7,8)
4回戦 (1,5)(2,8)(3,7)(4,6)
5回戦 (1,6)(2,3)(4,8)(5,7)
6回戦 (1,7)(2,5)(3,4)(6,8)
7回戦 (1,8)(2,7)(3,6)(4,5)
となります。
関連問題がありますので紹介します。
【関連問題】
ダブルス(たとえばテニスや卓球)ゲームのリーグ戦
8人のそれぞれが他の7人と1回ずつペアを組み、8人が2面のコートに4人ずつ(2ペア)に分かれて同時進行すると7回戦で可能です。
具体的な組み合わせと求める方法を示して下さい。
[ヒント] 上記の方法を利用できます。
(感想)
アイデアには感心しました。すばらしいの一言です。
応用範囲も広そうですし、現実的にも使えます。
自分で法則的なものを探しながら試行錯誤してやると12人まではできましたが、そこからは困難でした。
◆東京都 Asami さんからの解答
【問題３】
これって、(グラフ理論に於ける)完全グラフＫ_2nがn-1個のハミルトンサイクル及び１つの１因子に分解可能という結果そのものですね。
(ちなみにＫ_2n+1でもn個のハミルトンサイクルに分解可能です。)
注１：完全グラフＫ_nとは要するにｎ角形があってすべての頂点同士を結んだもの
注２：ハミルトンサイクルとはすべての頂点を通る回路(輪っか)のこと
注３：１因子とは１つの頂点から出ている線分が必ず存在して、しかも１本しかないものから成る線分同士の集まりのことです。
注４：Ｋ_2nのすべての線分は
2nＣ2＝2n(2n-1)／２＝n(2n-1)であり、
１個のハミルトンサイクルあたり2n本の線分を費やす×n-1個
＝2n(n-1)なので
残りn(2n-1)−2n(n-1)＝n本をどうするかということになります。
(明らかにもはやハミルトンサイクルを取ることができない)この残りが１因子にならないだろうか？
(ただし、うまくn-1個のハミルトンサイクルを取らねばならないのですが………)ということです。
注５：Ｋ_2nの場合、ハミルトンサイクルの辺の数が偶数なのを考慮すれば、辺を１つおきに見ていくことによって、それが対戦表になります。
従って、上記の事実は【問題３】を特別な場合に含む結果になっています。
上記の用語説明は、厳密な定義ではありません。
イメージ的なものです。
もっと一般的な事実もあるのでしょうけど、私にはこれくらいしか分かりません。