『リ−グ戦』解答

◆茨城県　内桶　次郎さんからの解答。

　リーグ戦に参加したチームの数ｎが偶数か奇数かで場合分けをする。
また、以下のような記号を使用する。

・参加チームをＡ，Ｂ，Ｃ・・・、Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃，・・・Ａ_n等で表し、
Ｗ（Ａ）でＡが勝った相手チームの総数を表す。

・またいくつかのチームの集合をＴ₁，Ｔ₂等で表し、
｜Ｔ₁｜でそのＴ₁に属するチームの数を表すことにする。

《case1》

　参加チーム数ｎが偶数のとき、つまりｎ＝２ｋのとき（ｋ＝１，２，３，４・・）、
参加チームをＡ₁，Ａ₂，Ａ₃，・・・Ａ_nとする。

このときリーグ戦で行われる試合の総数は、

2kＣ2＝

２ｋ（２ｋ−１） ―――――――― ２

＝ｋ（２ｋ−１）

各試合には、１チームの勝利チームが対応するので、
［試合の総数］＝［Ｗ（Ａ_i）の合計］となる。

つまり、

2k Σ i=1

Ｗ（Ａi）＝ｋ（２ｋ−１）・・(1)

が成立する。

　さて、ここで一般性を失うことなく優勝チームをＡ₁としてよい。

優勝チームＡ₁は他のチームと同じ勝利数かそれ以上の勝利数を獲得しているはずなので、任意のチームＡ_iについて、

Ｗ（Ａ_i）≦Ｗ（Ａ₁）が成立する。・・(2)（i=1,2,3・・､2k）

ここでＷ（Ａ₁）＝ａ₁とすると、

ａ₁≧ｋが成立する。・・(3)

◆（３）が成立する理由 仮にａ1＜ｋとすると、ａ1≦ｋ−１となる。 ∴Ｗ（Ａi）≦Ｗ（Ａ1）＝ａ1≦ｋ−１・・(4)となる。 (4)より 2k Σ i=1 Ｗ（Ａi）≦ 2k Σ i=1 (ｋ−１) ＝２ｋ(ｋ−１) ２ｋ（ｋ−１）＜ｋ（２ｋ−１）なので、 2k Σ i=1 Ｗ（Ａi）＜ ｋ（２ｋ−１） となり、これは（１）に矛盾する。 ∴（３）が成立する。 （この証明は本質的に「鳩の巣箱の原理」である。）

ところで(3)は優勝チームは必ずｋ試合以上勝っていることを示している。

　さて、ここで優勝チームＡ₁が勝利した相手チームの集合を、Ｔ₁とする。
またＡ₁が負けた相手チームの集合を、Ｔ₂とする。

(3)より｜Ｔ₁｜＝Ｗ（Ａ₁）＝ａ₁≧ｋ・・(6)

｜Ｔ₂｜＝ｎ−１−ａ₁≦ｋ−１・・(7)

明らかにＢ∈Ｔ₁のときはＡ₁＞Ｂとなる。・・(ア)
　（＞の定義１より）

またＣ∈Ｔ₂のときもＡ₁＞Ｃとなる。・・(イ)
　（Ｔ₂＝φのときは（ア）のみが成立するのでＴ₂≠φとしてよい）

◆（イ）が成立する理由 Ｔ2の任意のチームをＣとする。 するとＣ∈Ｔ2なのでＣはＡ1には勝っている。・・(8) しかしＣはＴ1の中に少なくとも１チームは必ず負けた相手チームを持っている。・・(9) なぜならば仮にＣがＴ1の各チームの全てに勝利しているとすると・・(10) (8),(10)よりＷ（Ｃ）≧１＋｜Ｔ1｜＝１＋ａ1＞ａ1 となり、この結果は(2)Ｗ（Ａi）≦Ｗ（Ａ1）に矛盾してしまうからです。 よって(9)が成立することになります。 そこでＣが負けたＴ1のチームをＢとすると、 Ｂ＞Ｃ・・(11)が成立することになります。 またこのＢはＢ∈Ｔ1なので（Ａ1に負けているので） Ａ1＞Ｂ・・(12) そこで(11),(12)からＡ1＞Ｃが成立する。 （イ）が証明できました。

（ア）、（イ）より優勝チームＡ₁についてはＡ₁以外の任意のチームＢについて、
Ａ₁＞Ｂが成立することが証明できました。

【蛇足１】

　Ａ＞Ｂであることを点Ｂから点Ａに向かう矢線 Ｂ→Ａ で表すことにすると、以上の関係は次の図のように図式化できます。

ｎ＝６のときの例です。

この図の中ではＡ₁，Ａ₂，Ａ₆が３勝２敗で３チームが優勝しています。
Ａ₃，Ａ₄，Ａ₅が２勝３敗です。

また試合総数は

6Ｃ2＝

６・５ ――――――― ２・１

＝１５試合

なので、矢線の数も１５本あることになります。

《case2》

参加チーム数ｎが奇数のとき、つまりｎ＝２ｋ＋１のとき（ｋ＝１，２，３，・・）、
参加チームをＡ₁，Ａ₂，Ａ₃，・・・Ａ_nとする。

このときリーグ戦で行われる試合の総数は、

2k+1Ｃ2＝

（２ｋ＋１）２ｋ ―――――――― ２

＝ｋ（２ｋ＋１）

［Ｗ（Ａ_i）の総和］＝［試合の総数］となるので、

2k+1 Σ i=1

Ｗ（Ａi）＝ｋ（２ｋ＋１）・・(1)

が成立する。

　さて、ここで一般性を失うことなく優勝チームをＡ₁としてよい。

このＡ₁については任意のチームＡ_iについて、

Ｗ（Ａ_i）≦Ｗ（Ａ₁）が成立する。・・(2)（i=1,2,3・・）

ここでＷ（Ａ₁）＝ａ₁とすると、

ａ₁≧ｋ・・(3)が成立することになります。

◆（３）が成立する理由 仮にＷ（Ａ1）＝ａ1＜ｋとすると、ａ1≦ｋ−１となる。 ∴任意のｉについて Ｗ（Ａi）≦Ｗ（Ａ1）＝ａ1≦ｋ−１・・(4)となる。 (4)より 2k+1 Σ i=1 Ｗ（Ａi）≦ 2k+1 Σ i=1 (ｋ−１) ＝(２ｋ＋１)(ｋ−１)・・(5) （２ｋ＋１）（ｋ−１）＜ｋ（２ｋ＋１）なので、 2k+1 Σ i=1 Ｗ（Ａi）＜ ｋ（２ｋ＋１） となり、これは（１）に矛盾する。 ∴（３）が成立する。 （この証明は本質的に「鳩の巣箱の原理」である。）

ところで(3)は優勝チームの勝った相手チーム数がｋチーム以上であることを主張しています。

さて、ここで優勝チームＡ₁が勝利した相手チームの集合を、Ｔ₁とする。
またＡ₁が負けた相手チームの集合を、Ｔ₂とする。

(3)より｜Ｔ₁｜＝Ｗ（Ａ₁）＝ａ₁≧ｋ・・(6)

｜Ｔ₂｜＝ｎ−１−ａ₁≦ｋ・・(7)

明らかにＢ∈Ｔ₁のときはＡ₁＞Ｂとなる。・・(ア)
　（＞の定義１より）

またＣ∈Ｔ₂のときもＡ₁＞Ｃとなる。・・(イ)
　（Ｔ₂＝φのときは（ア）のみが成立するのでＴ₂≠φとしてよい）

◆（イ）が成立する理由 Ｔ2の任意のチームをＣとする。 するとＣ∈Ｔ2なのでＣはＡ1に対しては勝っている。・・(8) しかしＣはＴ1の中に少なくとも１チームは必ず負けた相手チームを持っている。・・(9) なぜならば仮にＣがＴ1の各チームの全てに勝利しているとすると・・(10) (8),(10)よりＷ（Ｃ）≧１＋｜Ｔ1｜＝１＋ａ1＞ａ1 となり、この結果は(2)Ｗ（Ａi）≦Ｗ（Ａ1）に矛盾してしまうからです。 よって(9)が成立することになります。 そこでＣが負けたＴ1のチームをＢとすると、 Ｂ＞Ｃ・・(11)が成立することになります。 またこのＢはＢ∈Ｔ1なのでＡ1＞Ｂ・・(12) そこで(11),(12)からＡ1＞Ｃが成立する。

（ア）、（イ）より優勝チームＡ₁についてはＡ₁以外の任意のチームＢについて、
Ａ₁＞Ｂが成立することが証明できました。

【蛇足２】

　case1と同様にｎ＝５のときの例を示しておきます。

この結果ではＡ₁，Ａ₂，Ａ₃，Ａ₄，Ａ₅全てが２勝２敗で全チームが優勝チームとなっています。

試合総数は

5Ｃ2＝

５・４ ――――――― ２・１

＝１０試合です。

【蛇足３】

　蛇足１，２のように図示したとき、

Ｗ（Ａ_i）＝点Ａ_iを指示している矢印の本数

が成立しています。

このことからも

n Σ i=1

Ｗ（Ａi）＝nＣ2

が成立することがわかります。

上記の問題は

◆Ｗ（Ａi）が最大となる点Ａ1に対しては、他の任意の点から２ステップ以内で矢印の方向に沿って移動できる という性質と同値です。

◆神奈川県　飯田　孝久さんからの解答。

・優勝チームをＡとする。
Ａが勝利したチームＢに対しては、仮定よりＡはＢより強いといえる。

今、Ａが負けたチームをＣとする。
Ｃが、Ａが勝ったすべてのチームに勝ったとすると、Ｃの勝ち数がＡの勝ち数を越えるため、Ａが優勝したことに矛盾する。

したがって、ＣはＡが勝ったチームのうち少なくとも一つのチーム（Ｄとする）には負けている。
その結果、ＡはＤに勝ち、ＤがＣに勝っているので、ＡはＣより強いといえる。
よって、優勝チームは残りのすべてのチームより強い。

・付録

場合によっては、残りのすべてのチームが優勝チームより強いこともあります。

例を一つ挙げます。
優勝チームがある１チームだけに負け、そのチームが残りすべてのチームに負けた場合。
他にもあります。

【コメント】

　この証明はシンプルでよいですね。これで十分です。
付録の方は、普段よく使っているような内容のこの定義が、いかにいい加減であるかのよい例になりますね。

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