◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題１】
3つに切断した線分の長さをa≦b≦c(a+b+c=1)とする。
| cに着目すると、c≧ | 1 3 | ,また、a+b＞cであるから |
| ∴ | 1 2 | ＞c |
| よって | 1 2 | - | 1 3 | = | 1 6 |
| cのとりうる 値は1- | 1 3 | = | 2 3 |
| 従って、 | 1 6 | / | 2 3 | = | 1 4 |
| 答え | 1 4 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
線分の長さを１とし、切断位置を0≦x,y≦1とします。
３角形になるには最大長が０．５以下であればよい。
最大長Ｃ＝max(1-max(x,y),min(x,y),abs(x-y)) です。
下図はその等高線図です。
緑の３角形内がＣ≦０．５です。
よって確率は１／４です。
ただし確率密度f(x,y)=１とした場合です。
【ＰＳ１】
ippei さんの解答が理解できず、計算してみました。
Cに対する確率密度関数は３角形が成立する限界値を頂点とする三角波でした。
下図参照。
それでＣだけの考察で正解が出ることが理解できました。
【ＰＳ２】
f(x,y)=１としましたが、他の確率も考えられます。
まずxにおいて一様確率で切ります。
どちらかを１／２の確率で選びます。
選んだ方を一様確率で切ります。
即ち
| f(x,y)= | １ 2-2x |
，y≧x |
| f(x,y)= | １ 2x |
，y≦x |
これを前出の緑三角形内で積分すると
| 0.5 ∫ 0 |
x 2-2x |
dx+ | 1 ∫ 0.5 |
1-x 2x |
dx |
| = | 1 ∫ 0.5 |
1-x x |
dx |
| =ln(2)- | 1 2 | =0.193＜0.25 |
【問題２】
【想定される解】
(1)斜辺ＢＣの垂直２等分線Lを作図し、中点Mと点Pを定めます。
二等辺三角形ではないのでPとAは一致しません。
(2)ＡＭ＝ＡＤなる点DをBC上にコンパスだけで定めます。
(3)ＰＭ＝ＤＥ , ＰＤ＝ＭＥなる点Eをコンパスだけで定めます。
(4)線分PE三角形面積の２分線です。
∵PEとBCの交点はMDの中点です。
従ってAのBCへの垂線の足Ｘです。
AMは面積２等分線です。
線Lからの距離はAもXも同じです。
【例外】
ＢＰ＝ＡＢの場合、面積２等分線PEがACに平行になります。
従って、その場合はこの方法では描けません。
いつでも可能なチェックの方法は、ABを対角線とする、辺の長さBPのひし形の残り２頂点をコンパスで描き、その２点間がABと同じ長さであるか判定します。
同じときは、正方形なのでＢＰ＝ＡＢです。
【例外に対する解】
(1)斜辺BC上にBから等間隔に４点コンパスでとります。
最後の２点をM3,M4とします。
(2)同様に辺BA上にBから等間隔に３点コンパスでとります。
最後の２点をP2,P3とします。
(3)AM4に平行でM3を通る直線M3Eを書きます。
これはコンパスで平行四辺形AM4M3Eの頂点Eを定めれば作図できます。
(4)M3 EとABの交点をXとします。
| このときBX= | 3 4 |
ABです。 |
(5)CP3に平行でP2を通る直線P2Dを書きます。
これはコンパスで平行四辺形CP3P2Dの頂点Dを定めれば作図できます。
(6)P2 DとCBの交点をYとします。
| このときCY= | 2 3 |
CBです。 |
(7)XYをとおる直線XYは面積の２等分線です。
| ∵ | 3 4 | AB* | 2 3 | CB= | 1 2 | AB*CB |
【その他期待されていない解】
適当な直交線（茶色）を書いてその上に与えられた三角形（黒）と合同な三角形をコンパスを用いてコピーする。
コピーの上で２等分線（紫）を作図して、再びコンパスで元の図上にコピーする。
作図途中で平行になったり、頂点を通る可能性はあるが、その確率は０である。
【ＰＳ３】
【例外に対する解】は２等辺直角３角形でもOKです。
またPEがACに平行か吟味も不要です。
さらに、直角３角形であるという足かせも関係ありません。
◆神奈川県 A-Leo さんからのコメント。
【問題１について】
確率分布の取り方によって、確率が変わってしまう問題は「半径１の円に交わる直線を引く時、その直線が円で切られ
る弦の長さが
以下である確率はいくらか」というBertrandの問題も有名です。
Y.M.Ojisanさんの解を見た時、ふとそのことを思い出しました。
このように、二つ以上の確率がでてきてしまう場合、一つの解決方法としては、「ユークリッド空間の等長変換によってかわらないような確率測度(確率密度と考えていただいても結構ですが)を採用せよ」というのが積分幾何の教えるところです。
「等長変換」とは長さを変えない変換のこと、つまり、どの方向からどう見ても確率が同じようにしなさいということです。
この問題の場合、1次元のユークリッド空間で考えれば十分です。
この場合、等長変換は平行移動か対称移動の二つと、その組み合わせによって得られるもので尽くされます。
f(x,y)=1と置いた場合は平行移動をしても対称移動をしても確率密度に変化はありません。
Y.M.Ojisanさんの挙げられた確率密度の場合はちょっと複雑です。
たとえば、対称移動x,y→-x,-yという変換では、大小関係が入れ代わります。
| y≧xの場合、f(x,y)= | １ 2-2x |
,f(-x,-y)=- | １ 2x |
どうやら、上の処方に従うと、やはりf(x,y)=1の方に軍配が上がるようです。
ただし、これはあくまでユークリッド空間で考えればの話で、実験結果が1/4になるのもそれがポイントです。
別の幾何学を持ってくれば、別の確率分布がでるかもしれません。
やはり、答えは一つではないようです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
【Ａ-Leoさんのコメントへのコメント】
最初に、これは反論ではなく他の解釈を示すものであることを申し述べておきます。
f(x,y)はx,yともに実際は0〜1でのみ定義しており
f(-x,-y)の値はありません。
従って逆に f(-x,-y)=f(x,y)とここで改めて定義し、すぐには降参しないようにできます。
最終的には、x,yを一次元空間に同時にほうり投げたときの確率密度は
f(x,y)=1が最も穏当という点で異論はありま
せん。
私の示した確率分布は次のように考えられます。
最初にxを一次元空間にほうりなげ，
そこで最も穏当な確率密度 f(x)=1を用います。
次に切ったものに対して右か左かの２値空間で
f(右)＝f(左)=1/2という最も穏当な確率を設定し、
最後にその選択された側の切り方：yに対して
一次元空間で最も穏当な確率f(y)=1を用いています。
パラドクスのようでもありますが、何せ人間が切るのですから矛盾はつきものかも。^/^
勿論ここでの元凶は左右２値を同確率とした点にあるわけですが、
この場合その元になる「x切り」の構造が既知なので
その同一でない確率x:1-xを特定できます。
でも知らなければ同値が穏当となってしまうわけです。 逆にxに関してもその構造を知らないので一様が穏当としていますが、大きなはさみを使い、肩を中心に角度という一次元に関して一様と すれば、xは一様でない確率密度に従います。
◆出題者のコメント。
ippei さん、Y.M.Ojisan さん、解答ありがとうございます。
それから、A-Leo さん、貴重なコメントありがとうございます。
| 【問題１】は、 | １ ４ |
で正解です。 |
| ところで、Y.M.Ojisan さんの【ＰＳ２】の場合ですが、私なりに求めてみると確率 | １ ６ |
になりました。 |
【問題２】のY.M.Ojisan さんの解答は条件を満たしている作図なので、正解とします。
ただし、直角三角形の特性を利用すると、もっと簡単な作図法があります。
面積の２等分線を含めても、コンパス２回,定規２回だけで可能です。
よろしければ挑戦してみてください。
それから、任意の三角形に適用できる作図法は実に巧みですね。
任意の三角形でも出題したかったのですが、私にはこの作図法が発見できませんでした。(^^;
◆出題者のFootmark さんからの解答。
【問題１】
切断によってできた３本の線分で三角形ができるためには、
３本の線分のそれぞれの長さが三角不等式を満たさなければならない。
つまり、任意の２本の長さの和が残った１本より長くなければならない。
明らかに、どの１本であっても元の線分の半分以上の長さなら、三角不等式を満たさない。
逆に、３本とも元の線分の半分未満の長さなら、常に三角不等式を満たす。
よって、求める確率は「３本の線分のどの長さも元の線分の半分未満となる確率」と同値である。
そこで、仮に１つ目の切断がされたものとすると、線分は図のような２本になる。
図では、便宜的に長い方の線分を上に短い方の線分を下にしたが、
横方向は１つ目の切断によるすべてのケースを表している。
明らかに、三角形ができる２つ目の切断位置は図の青い部分でなければならない。
（長い方の線分で、両端のどちらからも元の線分の半分未満の距離にある部分）
よって、
| 三角形ができる確率 |
| ＝ | 青い部分の面積 全体の面積 |
| ＝ | １ ４ |
。 |
◆ Y.M.Ojisan さんの【ＰＳ２】の場合 ◆
| 三角形ができる確率 |
| ＝ | ２つ目の切断が長い方の線分となる確率 × | 青い部分の面積 長い方の線分での全体の面積 |
| ＝ | １ ２ |
× | １ ３ |
| ＝ | １ ６ |
。 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメントと解答。
【１本の線分と三角形出題者へのコメント】
【問題１コメント】
コメントありがとうございます。
ミスが発見できました。
赤字部修正いたします。
| 0.5 ∫ 0 |
x 2-2x |
dx+ | 1 ∫ 0.5 |
1-x 2x |
dx |
| = | 1 ∫ 0.5 |
1-x x |
dx |
| =ln(2)- | 1 2 | =0.193＜0.25 |
しかし私の意図する意味においてはやはり１／６ではありません。
違いがどこにあるかというと、x=0において長いほうのどこかを切る確率を１としたとき、出題者の図ではｘ＝0.5において長いほうのどこかを切る確率が0.5に成ってしまいます。
途中で短いほうを切らないとした従属条件が単純な面積比では反映されていません。
【問題２解答】
単純な想定は未熟な発想でした。
なるほど、次の方法でしょうか。
ＡＢ＞ＡＣとします。
これは簡単です。
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisan さん、【問題２】正解です。
このとき、２等分した一方(最小頂角がある方)が二等辺三角形となるのが面白いですね。
以下、Y.M.Ojisan さんの【問題１】【ＰＳ２】の解答に対するコメントです。
＞出題者の図ではｘ＝0.5において長いほうのどこかを切る確率が0.5に成ってしまいます。
これって、最初中点で切断したときのことですよね。
切断位置が元の線分の中点にあると、明らかに三角不等式を満たしません。
それ故、三角形ができるためには、中点は切断位置から除外しなければなりません。
| ところが、切断位置が中点である確率は | １ ∞ |
で、ほとんど０です。 |
私の図の右端を見ていただければ判るように、
このとき長い方を切断して三角不等式を満たす確率は１です。
１つ目の切断が済むと、２つ目の切断は長い方か短い方のいずれかでしなければなりません。
ところが、短い方を切断したのでは、明らかに三角不等式を満たしません。
よって、
三角形ができる確率
＝ 長い方が切断される確率 × 長い方の切断で三角不等式を満たす確率
【ＰＳ１の場合】
| 三角形ができる確率 |
| ＝ | 長い方の面積(３) 全体の面積(４) |
× | 青い部分の面積(１) 長い方の面積(３) |
| ＝ | 青い部分の面積(１) 全体の面積(４) |
| ＝ | １ ４ |
| 三角形ができる確率 |
| ＝ | １ ２ |
× | 青い部分の面積(１) 長いの方の面積(３) |
| ＝ | １ ６ |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
【ＰＳ２に関するコメント２】
たとえば下左図の赤枠の同じ凾の部分の確率を比べてください。
左赤枠側は殆ど成立せず、右赤枠側は殆ど成立し凾が同じなので成立する確率はこの範囲で1/2であるべきです。
しかし出題者の数え方によれば1/3に成ってしまいます。
面積比で確率を出そうとするなら、右図のように全部同じ高さに不等に引き伸ばす必要があります。
よって1/3より多く、1/2より小さくなります。
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisan さん、失礼しました。(^^;
前回のコメントで、やっと理解できました。
【ＰＳ１】なら、２つ目の切断がされる２本それぞれの確率は、各線分の長さに比例する。
それ故、長い方にある線分でも図の左端の線分は右端の線分の２倍の確率で２つ目の切断がされる。
ところが、
【ＰＳ２】なら、どんなケースの２本であっても２つ目の切断がされる２本の確率が等しいため、
長い方にある異なる長さのどんな線分も、２つ目の切断がされる確率はすべて等しい。
結局、こういうことだったんですね。
頭の固い出題者に何回もご説明いただき、ありがとうございました。