◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題１】
ａ0 を１０進数の数字で表し ＡＢＣＤＥＦＧ・・・（ｎ桁）とします。
ただし、１≦Ａ≦９
０≦Ｂ，Ｃ，Ｄ，・・・≦９
ａ0＝Ａ×10n-1＋Ｂ×10n-2＋Ｃ×10n-3＋Ｄ×10n-4＋・・・・
です。一方、
ａ1＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋・・・・
ですから、
ａ0−ａ1＝Ａ×{10n-1-1}＋Ｂ×{10n-2-1}＋Ｃ×{10n-3-1}＋・・・・
となり、ｎ≧２のとき、常に ａ0＞ ａ1 となります。
ｎ＝１のときは、同じ数の繰り返しになります。
よって、任意の数 ａ0は、多くともａ0−９回の操作で、１桁の数になります。
【問題２】
簡単のために ａ0を４桁の数とし、各位の数をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。
つまりａ0＝1000×Ａ＋100×Ｂ＋10×Ｃ＋Ｄ
です。
ａ0＝(999+1)×Ａ＋(99+1)×Ｂ＋(9+1)×Ｃ＋Ｄ
＝９(111×Ａ＋11×Ｂ＋Ｃ）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）
＝９(111×Ａ＋11×Ｂ＋Ｃ）＋ａ1
ａ1を９で割ったときの商を ｐ 、余りを ｑ とすると、
ａ1＝９ｐ＋ｑですから、
ａ0＝９(111×Ａ＋11×Ｂ＋Ｃ＋ｐ）＋ｑ
となり、ａ0 と ａ1 は、９で割った余りが同じです。
同様に、ａ2,ａ3・・・も９で割った余りは同じです。
つまり、任意の数 ａ0は ａ0を９で割った余りになり、特に、９で割り切れる場合は、９になる。
各位の数を足すとなると、やはり、９の剰余系でしょう。
【問題１】の証明は、ちょっと詰めが甘いかも。
【コメント】
証明は充分だと思いますが、そういう定跡があったとは知りませんでした。
勉強になりました。(^_^
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
ａ0は自然数とする。
問題１、問題２
１桁）１，２，３，４，５，６，７，８，９。
２桁）１０＝９＋１。
３桁）１００＝９９＋１。
４桁）１０００＝９９９＋１。
・・・・・・・・・・。
Ｎ桁）１０００・・・０＝９９９・・・９＋１。
Ｎ桁は上記のように表現出来る。
Ｎ桁の各桁の数をＮ1、Ｎ2、Ｎ3、．．．Ｎnとする。
ただし、Ｎ2，Ｎ3，・・・・・，Ｎnは０〜９とする。
任意のＮ桁の数を、χ＝ＮnＮn-1・・・・・・Ｎ3Ｎ2Ｎ1とする。
χ＝９×Ｙ＋Ｎn＋・・・・・・・＋Ｎ3＋Ｎ2＋Ｎ1
Ｚ＝Ｎn＋・・・・・・＋Ｎ3＋Ｎ2＋Ｎ1
χ＝９×Ｙ＋Ｚとなる。
上記の関係よりＮ桁の数は高々（Ｎ−１）桁にできる。
このことより必ず１桁の数にすることが出来る。（問題１）
ここで９の剰余を考える。
Ｘ≡Ｚ(mod ９)
その剰余は０，１，２，３，４，５，６，７，８となるが、０の場合は９とする。
ａkはａ0の９の剰余に一致する。
【コメント】
ところで、問題を追加するとＰ進法で表したとすると、
ａkはａ0で表現することはできるでしょうか。