◆滋賀県 一平ちゃん さんからの解答。
【問題１−１】
右８個、上８個、計１６個の同じものを含む順列であるから、
| １６！ ８！・８！ | ＝１２８７０ |
答え １２８７０
【問題１−２】
ｍ個の右上が入ると、右、上がそれぞれｍ個減ることになる。
従って個数において
（右上、右、上）＝（ｍ、８−ｍ、８−ｍ）
ｍは０〜８ である。よって、
| 8 Σ m=0 |
(１６−ｍ)！ ｍ！・(８−ｍ)！2 |
【問題２−１】
升目に下から順に１から９までの番号をつける。
１から出発して２に寄るか寄らないかのどちらかだから、２通り。
次に、３に寄るかどうかで、２通り、
以下同様に８によるかどうか、、と考えると、重複順列で、
２8-1＝１２８通り
◆東京都 四年寝太郎 さんからの解答。
【問題１−３】
銀将の動き
マス(x,y)を通っていくのは
マス(x,y-1)を通っていくのと
(x-1,y-1)を通っていくのと
(x-1,y+1）を通っていくものの合計に等しいから、
a(1,1)=1として
a(x,y)=a(x,y-1)+a(x-1,y-1)+a(x-1,y+1)とすると、
a(9,9)が求める値となる。
これを求めると、3478241通り。
【問題２−３】
二枚の香車の動き
前の香車の座標をｘ、後ろの香車の座標をｙとすれば、
飛車が(8,9)から(1,2)まで対角を通過しないで移動することとみなせるので、
a(1,2)=1として
| a(x,y)= | x-1 Σ i=1 | a(i,y) | + | y-1 Σ i=x+1 | a(x,i) |
となるので、a(8,9)=3968310通り。
計算にはコンピュータを使いました。
◆東京都 ろっしぃ さんからの解答。
「小学生でも解ける」解法にこだわってみました。
【問題１−１】
まず、自分でマス目を書いてみましょう。
王様が将棋で言う１一、すでに右上にいるとき。これは一通りしかありません。
１と書き込みましょう。
１二（右上の１つ下のマス）にいるとき。
これは、次に１一にしか進めません。
そこから一通りしかないのだから、答えは一通りしかありません。
１と書き込みましょう。
１三（右上の２つ下のマス）にいるとき。
これは、次に１二にしか進めません。
そノマス目を見ると、そこからの進み方も一通りしかありませんから、ここからも答えは一通りしかありません。
１と書き込みましょう。
こうして、縦の一筋全てに、１が書き込まれます。
同様に考えると、横の一段目全てにも、１が書き込まれます。
さて、２二にいる王様を考えます。
この王様は、１二か２一に行けます。
どちらに行っても１と書いてあります。
どちらへ行ってもあとは一本道しかないということです。
ここにはその合計、２と書き込みましょう。
２三にいる王様を考えます。
この王様は、１三か２二に行けます。
１三には１と書いてあります。
こちらへ行けば一通りの行き方があります。
２二には２と書いてあります。
こちらからは二通りの行き方が有ります。
その合計が答えです。
その合計、３と書き込みましょう。
同様に、３二には３（２二と３一の合計）、
３三には６（２三と３二の合計）と書き込まれます。
この辺で、自分で、たしかに行き方が６通りであることを確かめてみるといいと思います。
最初に２三へ行く行き方が３通り、最初に３二へ行く行き方が３通りだということも確かめれば、さらにりっぱです。
表が埋まったら、あとは表を埋めていきましょう！
右の数字と、上の数字を足して、書きこんでいくだけです。
足し算さえ間違えなければ、９九のマスには、
12870と書いてあるはず。それが答えです。
【問題１−２】
また、自分でマス目を書いてみましょう。
今度も、縦の一筋全てと、横の一段目全てに、１が書き込まれます。
さっきの問題と少し違うのは、２二から、１二・２一・１一の３個所に行けることです。
どこにも１と書いてあるので、合計は３です。
あとは表を埋めるだけ。
右の数字と、上の数字と右上の数字を足して、書きこんでいくだけです。
足し算さえ間違えなければ、
９九のマスには、265729と書いてあるはず。それが答えです。
＃ここまで来ると筆算でやるのはかなり大変ですね
【問題１−３】
また、自分でマス目を書いてみましょう。
今度は、縦の一筋全てに、１が書き込まれます。
さっきの問題とまた少し違うのは、一段目から二段目へ、例えば２一から、１二に行けることです。
２一からは１二へ行く一通りだけなので１と書き込まれますが、
３一を埋めるためには、先に２二のマスを埋めなければなりません。
順番さえ間違えなければ、あとは表を埋めるだけ。
上の数字と右上の数字と右下の数字を足して、書きこんでいくだけです。
足し算さえ間違えなければ、
９九のマスには、3478241と書いてあるはず。それが答えです。
【問題２−１】
今度は、１筋しか使いません。
自分でマス目を書いてみましょう。
１一からは一通り。１二からも一通り。
どちらも１と書き込んで、
１三からは、１一と１二へいけるので、二つのマス目を足して、合計２、２通り。
１四からは、１一と１二と１三へいけるので、
１＋１＋２＋＝４通り。
こうして、自分より上にある数字を全て足しあわせていくと、
１九のマスには、６４と書いてあるはずです。
数字が、１，２，４と倍に増えていくことに気が付いたら、計算は簡単だったでしょう。
【問題２−２】
ここまでの問題と同様に、１一に１と書いて、自分より上のマス全てと右のマスの数字を全て足しあわせていくと、すべてのマスが埋まります。
◆石川県 迷える羊 さんからの解答。
【問題１−１】
８回「上」、８回「右」に移動する手順の組み合わせになるから、
１６！÷（８！）2＝１２８７０通り
【問題１−２】
右斜め上に移動する回数を、ｎ回≪０≦ｎ≦８≫とすると、
（８−ｎ）回「上」、（８−ｎ）回「下」、ｎ回「右上」移動することになるから、
| （１６−ｎ）！ （８−ｎ）！（８−ｎ）！ｎ！ | 通り |
【問題１−３】
右斜め上に移動する回数を、ｎ回≪０≦ｎ≦８≫とすると、
（１６−２ｎ）回「上」、（８−ｎ）回「右下」、ｎ回「右上」移動することになるから、
| （２４−２ｎ）！ （１６−２ｎ）！（８−ｎ）！ｎ！ | 通り |
【問題２−１】
香車をｎマス先に動かす時の動かし方を、Ａ（ｎ）とする。≪１≦ｎ≦８≫
Ａ（１）＝１
Ａ（２）＝２
ｎ＞２のとき、
Ａ（ｎ ）＝Ａ（ｎ−１）＋…＋Ａ（１）
Ａ（ｎ−１）＝Ａ（ｎ−２）＋…＋Ａ（１）
よって、
Ａ（ｎ）＝２Ａ（ｎ−１）＝２n-1
Ａ（８）＝１２８ 通り