◆大阪府 犬太郎 さんからの解答。
x=a0+10*a1+100*a2+...+10k*akとすると、
f(x)-(a1+a2+...+ak)=9*(1*a2+11*a3+...+(10k-1)*ak)より、
f(x)に対して、以下のことが言える。
x mod 9=k(k:1〜8) ならば f(x)=k
x mod 9=0 ならば f(x)=9
F(n)=F(n-1)+F(n-2)より、
F(n) mod 9=(F(n-1)+F(n-2)) mod 9=F(n-1) mod 9 + F(n-2) mod 9より、
f(f(F(n-1))+f(F(n-2)))=f(F(n))
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
十進べーシック(1000桁モード)で実験してみました。
DIM F(240)
LET F(1)=1
LET F(2)=1
FOR I=3 TO 240
LET F(I)=F(I-1)+F(I-2)
NEXT I
FOR I=1 TO 240
LET Y=F(I)
10 LET X$=STR$(Y)
LET N=LEN(X$)
IF N>1 THEN
LET Y=0
FOR J=1 TO N
LET Y=Y+VAL(MID$(X$,J,1))
NEXT J
GOTO 10
END IF
LET F(I)=Y
NEXT I
FOR I=1 TO 240
REM PRINT USING "###":I;
PRINT F(I);",";
IF MOD( I , 24) =0 THEN
PRINT
END IF
NEXT I
END 基本周期の位数241 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 4 , 3 , 7 , 1 , 8 , 9 , 8 , 8 , 7 , 6 , 4 , 1 , 5 , 6 , 2 , 8 , 1 , 9 ,フィボナッチ数列において、１桁の数は、1,1,2,3,5,8 である。
したがって、f(x)をフィボナッチ数列に適用すれば、その関係式をそのまま満たす。
ゆえに、f(f(Ｆn-1)+f(Ｆn-2))=f(Ｆn)
f(x)をフィボナッチ数列に適用したとき、 新たな数列の基本周期の位数が24となるのは、不思議です。
循環節の位数 24
| 112358437189887641562819 1024-1 |
| = | 12484270798876404618091 111111111111111111111111 |
| = | 17*67*276741307*39606409067 3*7*11*13*37*73*101*137*9901*99990001 |
フィボナッチ数列との関連性がわかりません。
◆長野県の高校生 SATOKI さんからの解答。
ｆ(ｘ)というのは、ａを整数として１≦ａ≦９とするとき、
ｘ≡ａ(mod９)のａの値に等しい。・・・(1)
いま、ｐ，ｑを１≦ｐ，ｑ≦９の整数とし、
Ｆn-1≡ｐ(mod９)・・・(2)
Ｆn-2≡ｑ(mod９)・・・(3) を満たすとする。
(2)，(3)より、
Ｆn-1＋Ｆn-2≡ｐ＋ｑ(mod９)
また、Ｆn-1＋Ｆn-2＝Ｆn，
(1)からｐ＝ｆ(Ｆn-1)，ｑ＝ｆ(Ｆn-2) なので、
Ｆn≡ｆ(Ｆn-1)＋ｆ(Ｆn-2) (mod９)・・・(4)
便宜上ｆ(Ｆn-1)＋ｆ(Ｆn-2)＝Ａ とおく。
(?@) １≦Ａ≦９ のとき
(1)，(4)より、ｆ(Ｆn)＝Ａ となる。
また、１≦Ａ≦９ より、Ａ＝ｆ(Ａ) だから、
ｆ(Ｆn)＝ｆ(Ａ) が成り立つ。
(?A) Ａ≧１０ のとき
ｆ(Ａ)＝ｂ とする。このとき(1)より、
Ａ≡ｂ(mod９)・・・(5) である。
また、(4)，(5)より、
Ｆn≡ｂ＝ｆ(Ａ) である。故に(1)から、
ｆ(Ｆn)＝ｆ(Ａ) が成り立つ。
よって与式は示された。
◆東京都の高校生 MATIX さんからの解答。
P.S. この問題は応用ができそうです。
たとえば
「A(n+2)=2A(n+1)+3A(n),A(1)=1,A(2)=1において、
f(3f(A(n))+2f(A(n+1)))=f(A(n+2))」が成立する。
でもフィボナッチ数列は奥が深いですね。