◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
十進BASICでプログラミングしてシミュレーションしました。
10 INPUT PROMPT "試行回数":T
DIM F(T)
FOR M=1 TO T
LET C=0
REM A(0,0),B(0,1)
REM 0<X<1,-1<Y<1
REM (X-0.5)^2+Y^2=0.5^2
RANDOMIZE
FOR N=1 TO 1999
LET SEIFU=INT(RND*2)
LET X=RND
LET Y=SQR(X-X^2)
IF SEIFU=1 THEN LET Y=-Y
LET R1=SQR(X^2+Y^2)
LET R2=SQR((1-X)^2+Y^2)
LET R3=R1/R2
IF R3<=1 THEN LET A=R3 ELSE LET A=1/R3
IF A>=0.95 THEN LET C=C+1
NEXT N
LET F(M)=C/1999
NEXT M
LET S=0
FOR M=1 TO T
LET S=S+F(M)
NEXT M
PRINT S/T
GOTO 10
END
●試行回数2000
●試行回数10000
.051152676338183
|
1 ―――――― 1+0.952 | ≧x≧ |
0.952 ―――――― 1+0.952 |
| T(0.95)= |
1-0.952 ―――――― 1+0.952 | =0.0512483574244415 |
◆富山県 N.C さんからの解答。
問題の主旨がよくわからないのですが、思いつくままに書いてみます。
円の中心をＯとし、
∠ＡＯＰi＝２θiとすると、∠ＡＢＰi＝θiです。
このとき、２θiは０度〜１８０度となります。
そこで、私独自の独断と偏見による仮定ですが、
２θiは０度〜１８０度の区間に一様分布すると仮定します。
Ａ）sinθi＝ＡＰi／ＡＢより、
0.95≦sinθi＜１のとき、三角形ＡＢＰiは近似２等辺三角形です。
つまり、θiが約７２度以上のとき近似２等辺三角形です。
Ｂ）cosθi＝ＢＰi／ＡＢより、
0.95≦cosθi＜１のとき、三角形ＡＢＰiは近似２等辺三角形です。
つまり、θiが約１８度以下のとき近似２等辺三角形です。
Ｃ）tanθi＝ＡＰi／ＢＰiより、
0.95≦tanθi≦１のとき、三角形ＡＢＰiは近似２等辺三角形です。
つまり、θiが約４３．５度以上４５度以下のとき近似２等辺三角形です。
Ｄ）１／tanθi＝ＢＰi／ＡＰiより、
１≦tanθi≦１／0.95のとき、三角形ＡＢＰiは近似２等辺三角形です。
つまり、θiが４５度以上約４６．５度以下のとき近似２等辺三角形です。
θiが取りうる範囲（０度〜９０度）の中で，近似２等辺三角形となるθの範囲の巾を合計すると，
(90−約72)＋(約18−0)＋(45−約43.5)＋(約46.5−45)＝約39となり、確率は約39÷90＝約0.4ぐらいではないでしょうか？
「補足」
点Ｐiの分布の仕方によって解が変わります．
（広島県清川氏の解答とは仮定が異なりますので答えが異なっても当然なのですが．．．
ちょっと差が有りすぎるなこれは。
そうか、辺ＡＢを底辺としてＡＰiとＢＰiの比についてのみ議論すれば良かったのか。
じゃ、私のやり方を訂正すると、
((45−約43.5)＋(約46.5−45))÷90＝約0.03
となって大体一緒（＾＾？）ですね。
ああ、良かった。）
◆京都府 sambaGREEN さんからのコメント。
この手の問題は，ＮＣさんが書いておられるように，「均等に分布」の捉え方によって，確率が変わってきます。
清川さんのプログラムはＰiのＡＢへの正射影が均等に分布と考えたもののようですが，やはり，円周上に均等に分布と考えた場合，ＮＣさんの解答のように，角でとらえた方がよいと思います。
また，対称性から，0＜θ≦45の範囲で十分であり，あとは，ＮＣさんの解答どおり，
0.95≦tanθi≦１のとき，43.5≦θi≦45
0.95≦cosθi＜１のとき，0＜θi≦18.2
したがって，
（1.5+18.2）/45＝0.438
約４４％ でいいのではないでしょうか。
（直感より，かなり大きいです。）