◆石川県 迷える羊 さんからの解答。
【問題１】
粘土の窪みの底からの高さをｔ、その位置での断面の円の半径をｒとすると、
ｒ2＋(５−ｔ)2＝５2
窪みの一番上での半径は３だから、
０≦ｔ≦１
求める容積は、
| Ｖ＝ | 1 ∫ 0 | (πｒ2)ｄｔ |
| ＝ | 1 ∫ 0 | π(１０ｔ−ｔ2)ｄｔ |
| ＝ | 1 ∫ 0 | π(５ｔ2− | １ ３ | ｔ3) |
| ＝ | １４ ３ | π |
【問題２】
地球の自転と公転は、共に左回りであるので、３６６回。
【問題３】
楕円の中心を原点、長径軸をｘ軸、短径軸をｙ軸にすると、楕円の方程式は、
| ( | ｘ １００ | ) | 2 | ＋( | ｙ ８０ | ) | 2 | ＝１ |
ｘ軸から４５度の線の方程式は、ｘ＝ｙ だから、
この２つの図形の交点をＡ(ａ，ａ)とすると、
１６ａ2＋２５ａ2＝４００2
| ａ＝ | ４００ |
よって、原点から点Ａまでの距離は、
ａ≒８８．３ｍｍ
【問題４】
直径６の円の中心を点Ｏ(０，０)、
直径４の円の中心を点Ａ(１，０)とする。
直径６の円の方程式は、
ｘ2＋ｙ2＝３2
直径４の円の方程式は、
(ｘ−１)2＋ｙ2＝２2
直径４の円に外接し、直径６の円に内接する直径２の円の中心を
点Ｂ(ｂｘ，ｂｙ)とすると、
点Ｂと点Ａの距離は、２つの円の半径の和と等しいから
(ｂｘ−１)2＋ｂｙ2＝(２＋１)2
点Ｂと点Ｏの距離は、２つの円の半径の差の大きさと等しいから
ｂｘ2＋ｂｙ2＝(３−１)2
２つの式を連立方程式として計算すると、
ｂｘ＝−２、ｂｙ＝０
さらに、直径４の円と直径２の円に外接し、直径６の円に内接する円の半径をｒ、
中心を点Ｃ(ｃｘ，ｃｙ)とする。
先ほどと同様に考えると、
(ｃｘ−１)2＋ｃｙ2＝(２＋ｒ)2・・・(1)
(ｃｘ＋２)2＋ｃｙ2＝(１＋ｒ)2・・・(2)
ｃｘ2＋ｃｙ2＝(３−ｒ)2・・・・・・・(3)
(1)、(3)より、
２ｃｘ−１＝−１０ｒ＋５
ｃｘ＝３−５ｒ・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
(2)、(3)より、
４ｃｘ＋４＝８ｒ−８
ｃｘ＝２ｒ−３・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)
(4)、(5)より、
| (4)、(5)より、ｒ＝ | ６ ７ |
| 求める円の直径は、 | １２ ７ | 。 |