◆埼玉県 斉藤 誠 さんからの解答。
まずはコンパスで円を書いて、もう一個円を書いて。。と
同じ長さの３本の直線の準備ができたので、１８°の線を。。。ん
困った。正確な図が書けない。
とてもいい問題ですね。
そこで、８４°の方を先に決めてみました。
上図においてＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣなので
ＤＣを弦として、その円周角が８４°になる円Ｏを作成する。
点Ｄを中心に円Ｏを回転し∠ＡＣＢ＝１８°になるようにする。
点Ｂも点Ｃも動点のため、やはり図が描けません。
しかし、計算は出来そうです。
円Ｏの中心をＯとし、その直径をＤＥにとると
∠ＤＥＣ＝∠Ｒなので、∠ＥＤＣ＝６°となる。
∠ＤＯＢ＝γ、∠ＢＡＤ＝α、∠ＡＤＣ＝βとする。
二等辺三角形の性質を利用して角度の関係を求めると
γ＋β＝２１６
α＋β＝１５６
γ−α＝６０ −−−（１）
△ＡＢＤと△ＯＢＤに余弦法則を適用しますが、二等辺三角形なので
ＡＤ＝ｒ とすると
ＤＢ２＝ｒ２（１−２ｃｏｓα） −−−−（２）
（２）＝（３）から
(２ｃｏｓ ６゜)2(１−２ｃｏｓα)＝(１−２ｃｏｓγ)
（１）を代入して
(２ｃｏｓ ６゜)2(１−２ｃｏｓα)＝１−２ｃｏｓ(６０゜＋α)−−−（４）
これをαについて解くのですが、ストレートには難しそうです。
αが６°の整数倍だろうと勝手に決めて（８４も１８も６の倍数なので）
電卓計算で
α＝４８°
が求まりました。
答え ∠ＢＡＤ＝α＝４８°
∠ＡＤＣ＝β＝１５６−α＝１０８°
（４）をうまく解く方法はないものでしょうか？
ｎ倍角や指数関数にしてみたりしたのですが、うまくはまりません。
また、もっといい方法があるのでしょうか？
【コメント】
角度は正解です。
なにか、（４）式をすっきり解けるとうれしいですね。
また、初等幾何でも解けるようなのですが、どなたか挑戦してみませんか。
◆東京都 鳥居 さんからの解答。
中学生レベルでできる別解法を示します。
ACの垂直二等分線を引くと、Dを通る。
この垂直二等分線とBCの延長線とが交わる点をEとする。
△ADE≡△CDEより、AE＝CE、∠AED＝∠CED＝72°。
Eを中心とし、A,Cを通る円Zを描く。
Eを通りDBに平行な線を引き、円Zと交わる点をFとする。
∠AEF＝∠AEC−∠FEC＝60°より、△AEFは正三角形。
DBの垂直二等分線とEFの垂直二等分線は、平行でともにAを通るから、両者は重なる。
対称性より△FEB≡△EFDとなり、
∠EFB＝∠FED＝∠FEC−∠DEC＝12°。
∠FBE＝84°＝∠FEBより、FE＝FB＝EDとなって、Dは円Z上にある。
∠FAB＝∠EAD＝54°、∠FAE＝60°より、
∠EAB＝∠FAD＝6°となって、∠BAD＝48°。
∠EDA＝∠EDC＝54°より、∠ADC＝108°。
【感想】
掲示板で見た角度の問題に刺激を受けて、過去問の未解決部分に着手しました。
正五角形の内部に辺の長さが等しい正三角形を置き、一辺ずつを共有させた形が問題図となることはわかりましたが、この逆が一意に成り立つか随分悩みました。
本問に取り組んでいる最中に『３辺が１の四角形』が出題され、もしや…と思いましたが、別問題でした。