『角の３等分線』

『角の３等分線』解答

◆宮城県　アンパンマンさんからの解答。

3AB²+5AQ²=8(AP²+5*3)
3AC²+4AP²=7(AQ²+3*4)

AC
AP = 4
3 ， AQ
AB = 3
5 より

16AB²=15AC²+400
25AC²=12AB²+400

これを解くと

◆静岡県　ヨッシーさんからの解答。

角の２等分線の定理より、

　AB：AQ=5：3
　AP：AC=3：4

ここで、AB=5s, AQ=3s, AP=3t, AC=4t とおきます。

　AP²=AB・AQ-BP・PQ
　AQ²=AP・AC-PQ・QC

これより、

　9t²=15s²-15
　9s²=12t²-12

これを s＞0, t＞0 において解くと、

よって、

◆出題者のコメント。

共に正解です。

私は AB
AQ = 5
3 、及び AP
AC = 3
4 なる２つのＡの
軌跡の交点を求める手法を考えていました。

この軌跡がアポロニウスの円になることは自明でしょう。
「角の二等分線の問題」が既知でしたら、これを使う解法が素直かもしれません。
ＡＢ，ＡＣの長さが求めやすいようにＡＰ，ＰＱ，ＱＣの長さを決定するのが案外面倒でした。