◆宮城県 アンパンマン さんからのコメント。
この問題を拡張するとこうなります。
∠ABP=x
∠PBC=30-x
∠PCB=90-3x
∠PAB=30+x
ただし点Ｐは△ＡＢＣの外側にあります。
（xが負のとき、点Pが線ACの右側に移ります）
このとき∠ＰＣＡの大きさを求めなさい。
答えは４ｘです。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
『角度の問題 Part５』より、図で△ＲＢＣの外心は点Ｏです。
線分ＢＰの延長線と△ＲＢＣの外接円との交点をＱとします。
線分ＢＱは明らかにその外接円の直径です。
点Ａは直径ＢＱに対して点Ｒの対称点にあたります。
ですから、点Ａもその外接円の円周上にある筈です。
∠ＢＣＱは明らかに ９０°ですから、
∠ＰＣＱ＝９０°ー７２°＝１８°
∠ＱＣＡは弦ＱＡの張る円周角で∠ＱＢＡと等しく ６°
よって、求める角度の、∠ＰＣＡは
∠ＰＣＡ＝∠ＰＣＱ＋∠ＱＣＡ＝１８°＋６°＝２４°
[答え] ２４°
◆出題者のコメント。
『角度の問題 Part５』の解答をベースにして良いわけですから、アンパンマンさんのコメントは解答と言ってよいでしょう。
正三角形ベース＋円周角の性質等から導出されているのであろうと思いますが、是非解説をお願いいたします。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
『角度の問題 Part５』問題より、
点Oは□EBCDの外接円の中心です。
線BOによる点Eの対称になる点Aは□EBCDの外接円上にあり、
∠ABR＝∠EBR＝xです。
∠ECA＝∠ABR＋∠EBR＝２xと『角度の問題 Part５』問題より
∠PCE＝２xで、
∠PCA＝∠ECA＋∠PCE＝２x＋２x＝４xです。
◆神奈川 クラテス さんからの解答。
『角度の問題 Part５』の解法を利用して解いてみました。
非常に回りくどいですが、直接的に証明できています。
これを参考に『角度の問題 Part５』の直接的な解法をいただければ幸いです。
ＡＰを延長して、ＡＢ＝ＡＤとなるＤをとる。
この時∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝７２°である。
次にＡＤ上にＢＤ＝ＢＥとなるＥを、
ＡＢ上にＢＥ＝ＢＧとなるＧをとる。
この時、∠ＢＤＥ＝∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＧ＝∠ＢＧＥ＝７２°となり、
△ＢＤＥ≡△ＢＥＧとなるから、ＤＥ＝ＥＧである。
また∠ＧＥＡ＝∠ＧＡＥ＝３６°よりＥＧ＝ＧＡである。
次にＢＰに関してＤを折り返した点をＦとする。
ＢＤ＝ＢＦであり、かつ
∠ＧＢＦ
＝∠ＰＢＦ−∠ＰＢＡ
＝∠ＰＢＤ−∠ＰＢＡ
＝６６°―６°
＝６０°
よって△ＢＦＧは正三角形である。
したがって、ＢＤ＝ＢＥ＝ＢＧ＝ＢＦ＝ＦＧである。
∠ＢＰＦ＝∠ＢＰＤ＝∠ＰＢＡ＋∠ＰＡＢ＝４２°より、
∠ＦＰＣ＝∠ＢＰＣ−∠ＢＰＦ＝８４°−４２°＝４２°
一方、∠ＦＢＣ＝∠ＦＢＧ−∠ＣＢＡ＝６０°―１８°＝４２°だから、
結局∠ＦＢＣ＝∠ＦＰＣとなり、４点Ｐ，Ｂ，Ｆ，Ｃは同一円周上の点となる。
∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ＝∠ＢＰＦ＝４２°となるから、
△ＦＢＣは二等辺三角形であり、ＦＢ＝ＦＣである。
Ｆを中心に半径ＢＦの円において、
| ∠ＢＣＧ＝ | １ ２ | ∠ＢＦＧとなるから、∠ＢＣＧ＝３０° |
ＦＧ＝ＦＣであるから、∠ＦＧＣ＝∠ＦＣＧ＝７２°
よって、△ＢＤＥ，△ＢＥＧ、△ＦＣＧはいずれも合同な二等辺三角形となる。
よって、ＤＥ＝ＥＧ＝ＧＣである。
よって、ＧＡ＝ＧＣとなり、三角形ＧＡＣは二等辺三角形。
∠ＡＧＣ
＝１８０°―∠ＦＧＣ−∠ＢＧＦ
＝１８０°―７２°―６０°
＝４８°
よって、∠ＧＡＣ＝６６°となり、∠ＰＣＡは結局２４°となる。
【コメント】
回りくどいですが、直接的に示せました。
この手法は『角度の問題 Part５』の解法より難しいのですが、同じようにして『角度の問題 Part５』も示すことができます。
◆出題者のコメント。
これはすごい。
100年たっても私には見つけられないでしょう。