◆東京都 鳥居 さんからの解答。
用語の定義として、３ｎ個の点のうち凸多角形の頂点に来るものを外側、来ないものを内側と呼ぶことにする。
３ｎ＝３のときは明らかである。
３ｎ≧６のときの解答の方針は、３ｎ個の点を直線にて２つの組に分け、点の個数が少なくなる問題に帰着できることを示す。
(1) 内側に青い点がある場合
内側の青い点を通る直線を考え、その直線によって分けられる２つの領域をＡとＢとする。
ｆを「領域Ａにある赤い点の個数×２−青い点の個数（ただし直線上の点は個数に数えない）」とする。
直線を回転させるとｆの値は変化していく。
赤い点がＡ領域に入るごとにｆは２だけ増える。
赤い点がＡ領域から出るごとにｆは２だけ減る。
青い点がＡ領域に入るごとにｆは１だけ減る。
青い点がＡ領域から出るごとにｆは１だけ増える。
直線が半回転するとＡ領域とＢ領域が入れ替わる。
ｆの初期値をｆ0、半回転後のｆの値をｆ1とすると、以下の式が成り立つ。
ｆ0＋ｆ1＝赤い点の全数×２−（青い点の全数−１）＝１
ｆ0≧１ならばｆ1≦０、ｆ0≦０ならばｆ1≧１である。
どちらの場合においても、ｆの値は点の出入りによって±１，±２ずつしか変化しないため、半回転する間にｆは０または１となる状態が必ずある。
ｆ＝０のときは回転の軸とした内側の青い点を領域Ｂに入れ、ｆ＝１のときはその青い点を領域Ａに入れると、内側の点を通る直線による領域分割により領域Ａ，Ｂにはどちらも点が必ず存在して、どちらも赤い点の個数×２＝青い点の個数となる。
領域Ａ，Ｂはどちらも問題にある点の個数の条件を満たしており、それぞれの領域の点の個数は領域分割前の点の個数から少なくなっている。
領域Ａの中の点で３角形を作っていっても領域Ａをはみ出すことはなく、領域Ｂでも同様なことがいえるため、領域Ａ，Ｂそれぞれに作った三角形同士は重なることがない。
以上より、点の個数を少なくした問題に帰着できることが示せた。
(2) 内側に赤い点がある場合
外側の点に着目すると、赤い点の個数×２＜青い点の個数となっている。
よって、外側の点で循環列を作ると、青い点が３個(以上)並ぶ箇所が必ず存在する。
その３個並んだ真中の青い点を通る直線を考え、(1)で定義した領域Ａ，Ｂとｆを導入する。
まず、領域Ａはすべての点を含まないように初期状態を設定するとｆ0＝０である。
直線の回転を始めると、隣の青い点が入ってきてｆ＝−１となる。
半回転した状態ではｆ1＝１であり、半回転に到達する手前で最後となる青い点が入ってくるため、その点が入ってくる前の状態ではｆ＝２である。
よって半回転をする間に、初期状態と半回転状態以外にｆが０または１となる状態があり、その状態では領域Ａ，Ｂそれぞれ点が存在する。
(1)で示した方法に従い回転の軸となった青い点を領域Ａ，Ｂいずれかに含めると、以下は(1)と同様な議論によって、(2)の場合も問題の帰着ができる。
(3) 内側に点がない場合
外側の点で循環列を作る。
赤い点１個と青い点が２個とが交互に来る場合、連続した３点の両端の点同士を結ぶ直線を考えると、その直線によって連続した３点とその他の点に領域を分けることができる。赤い点１個と青い点が２個とが交互に来ない場合は、青い点が３個(以上)並ぶところができるため、(2)と同様に議論を進めて問題の帰着ができる。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【証明】
（１）ｎ＝１のとき可能であることは明らかである。
（２）今、ｎ＜ｍ において可能であるとする。
ｎ＝ｍ の時、下記の［補題１］により、平面上の点群を一本の無限直線により何れも空で無い左右２集合に分け、各々の集合において青点と赤点の数の比を２：１にすることが可能である。
また各集合のｎは ｍより小さく、仮定によりそれぞれ重ならない三角形を作ることが可能である。
さらに、左右の点集合は直線で分断された点群であるので、作成された三角形が重なることはない。
よって、数学的帰納法により一般のｎで可能である。
【補題１】
平面上の点の集合 R と B があって各々個数は
＃R＝ｎ ＃B=２ｎ である（ｎは自然数）。
また R+Bの如何なる３点も一直線上にはない。
このとき少なくとも１本の有向直線 L があって、
＃（L[R>）＝ｍ ＃（L[B>）＝２ｍとすることができる。
ここでｍは１以上ｎ未満の整数であり、L[A>は点の集合Aの点でLの右側にあるものの集合とする。
∵ R+Bの各点の有向直線Lへの垂線の足の並びをLの方位角に対して考える。
さらに最終的には数だけが問題なので、区別しないR側のｎ個の点列の間に、
B側２ｎ個の点がどのように埋まりかつ移動してゆくかを考える。
このとき如何なる３点も同一直線上にはないので、ある方位角において３点以上の足が同一位置にあることはない。
従って R側の２点が交差しているところにB側の点の足があることもなく、R側の足の軌跡を単なるｎ本平行線としても殆どいたるところで一般性を失わない。
軌跡の例を図１に示す。
図１では０〜１８０度のみを示している。
１８０〜３６０度は上下反転したグラフである。
なぜならA度のLとA+180度のLは方向が逆なだけであるからである。
この性質は証明上重要である。
図１
Rの点の値を：−２ Bの点の値を：１としてL方向に積算したグラフを考えると図２に示す4タイプに分類できます。（ｎ＝４）
0度において交差しないタイプaであるとき、180度位置では交差しないｂタイプとなります。
従って、０〜１８０度の間に必ず交差するｃタイプかｄタイプが存在します。
これは少なくとも補題１を成立させるか、図２のｃタイプに示したｃtypeの特殊ケースとして１だけずれている程度である位置があることを示しています。
この特殊なケースの場合は少なくともRの点が３個連続している必要があり、かつその両側にはBの点が最低１個存在しています。
ある方位とその方位＋１８０度の方位の間では、その外側のBの点で最も端の点は、Rの点が３個連続しているところを通過しなければなりません。
このとき、Rは３点連続しているため、Rの隣接２点間に同時に入れるBの点は１個だけです。
すなわちｃタイプに示した特殊な状態も方位角を少し振れば、０値が存在します。図３参照
従って、 ＃（L[R>）＝ｍ ＃（L[B>）＝２ｍとなるLが少なくとも１本存在します。
図２
図３
