◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
まず、５段目、１０段目に関係なく、１５段の階段を上る方法を数えます。
１段の階段を上る方法は、１通りだけです。
２段の階段を上る方法は、
１＋１ と ２ の２通りです。
３段の階段を上る方法は、
１＋１＋１ と １＋２ と ２＋１ と ３ の４通りです。
４段以上の階段については以下のように考えます。
ｎ（＞３）段の階段の上り方をＣn 通りとすると、
Ｃn の内訳は、
最後の１歩を１段で上った。・・・Ｃn-1 通り
最後の１歩を２段で上った。・・・Ｃn-2 通り
最後の１歩を３段で上った。・・・Ｃn-3 通り
なので、Ｃn＝Ｃn-3＋Ｃn-2＋Ｃn-1
という関係にあります。
これを表にすると、以下の通りです。
| 段数 | 上り方 |
| １ | １ |
| ２ | ２ |
| ３ | ４ |
| ４ | ７ |
| ５ | １３ |
| ６ | ２４ |
| ７ | ４４ |
| ８ | ８１ |
| ９ | １４９ |
| １０ | ２７４ |
| １１ | ５０４ |
| １２ | ９２７ |
| １３ | １７０５ |
| １４ | ３１３６ |
| １５ | ５７６８ |
１５段まで上る５７６８通りのうち、５段目を踏む上り方は、
５段目までを１３通りで上り、
そこから１５段目までの１０段を２７４通りで上るので、
１３×２７４＝３５６２ 通り
同様に、１０段目を踏む上り方は、
２７４×１３＝３５６２ 通り
５段目も１０段目も踏む上り方は
１３×１３×１３＝２１９７ 通り
よって、５段目も１０段目も踏まない上り方は、
５７６８−３５６２−３５６２＋２１９７＝８４１ 通り
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
フィボナッチ数列とトリボナッチ数列の組み合わせでよいのではないでしょうか。
５段と１０段を０とすれば結局トリボナッチ数列とも考えられます。
| 段数 | 上り方 |
| １ | １ |
| ２ | ２ |
| ３ | ４ |
| ４ | ７ |
| ５ | ０ |
| ６ | １１ |
| ７ | １８ |
| ８ | ２９ |
| ９ | ５８ |
| １０ | ０ |
| １１ | ８７ |
| １２ | １４５ |
| １３ | ２３２ |
| １４ | ４６４ |
| １５ | ８４１ |