『カエル跳びゲーム』

『カエル跳びゲーム』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

１匹ずつのとき、３回。
２匹ずつのとき、８回。
３匹ずつのとき、１５回。
４匹ずつのとき、２４回。
Ｎ匹ずつのとき、　Ｎ（Ｎ＋２）回。

【コメント】

　みごと正解です。
相変わらずすばらしい分析ですね。
カエルのジャンプの回数の合計や、横へ１つ移動する回数の合計も計算できます。
それを使えば、移動に必要な回数が計算できます。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

緑色のカエルをＧ、黄緑色のカエルをＹ、空白をＢで表わすとする。

【問題１】
　　　　ＧＧＢＹＹ

　１）　ＧＢＧＹＹ
　２）　ＧＹＧＢＹ
　３）　ＧＹＧＹＢ
　４）　ＧＹＢＹＧ
　５）　ＢＹＧＹＧ
　６）　ＹＢＧＹＧ
　７）　ＹＹＧＢＧ
　８）　ＹＹＢＧＧ

　以上８回の手順で並び替えられる。

【問題２】
　　　　ＧＧＧＢＹＹＹ
　１）　ＧＧＢＧＹＹＹ
　２）　ＧＧＹＧＢＹＹ
　３）　ＧＧＹＧＹＢＹ
　４）　ＧＧＹＢＹＧＹ
　５）　ＧＢＹＧＹＧＹ
　６）　ＢＧＹＧＹＧＹ
　７）　ＹＧＢＧＹＧＹ
　８）　ＹＧＹＧＢＧＹ
　９）　ＹＧＹＧＹＧＢ
１０）　ＹＧＹＧＹＢＧ
１１）　ＹＧＹＢＹＧＧ
１２）　ＹＢＹＧＹＧＧ
１３）　ＹＹＢＧＹＧＧ
１４）　ＹＹＹＧＢＧＧ
１５）　ＹＹＹＢＧＧＧ

以上１５回の手順で並び替えられる。

【問題３】
ジャンプの回数、Ｎ２回。
横移動の回数、２Ｎ回。
要する回数、Ｎ２＋２Ｎ＝Ｎ（Ｎ＋２）（回）。 　　

【コメント】

　手順はこれでＯＫです。
カエルの数が増えていくと、見通しを立ててやらないとできないですね。
カエルが動けない状態になるまでの、カエルの動きのタイプは２つあります。
それを見破れば簡単です。

◆宮口　祐司さんからの解答。

カエル跳びゲームは便利ですね。
あれを手作りのコマでやってると、法則性を発見するのに、ずいぶんとかかるでしょう。

Ｎ匹ずつのときですが、こう考えました。
Ｎ匹が反対側に移動するには、飛び越え無しなら、それぞれＮ＋１コマずつ 移動しなければならない。
延べにして、２Ｎ（Ｎ＋１）コマ。
しかし、両側から出会ったときにはお互いにどちらかが飛び越えなければならない。
つまり、飛び越える回数は左のＮ匹と右のＮ匹とが出会う数だけあって、Ｎ２。
飛び越えるときは、一回で２コマ進むので、上の延べコマ数からひいて、回数を 求めると、

２Ｎ（Ｎ＋１）−Ｎ２＝Ｎ２＋２Ｎ

両側の間が１コマなので、自由度が低いです。
２コマ以上あけてみるとどうでしょうか？
また、同じ方に進む仲間でも一つなら飛び越せるようにしてもおもしろそうですね。
左と右に分かれて早く全員を移動させた方が勝ちという対戦ゲームはどうでしょう？
進められる場所があれば必ず進め、無ければ一回休み！というルールです。
コンピュータと対戦できると、おもしろいですね。

◆群馬県の小学生　BOMさんからの解答。

図１ 答え ８かい
図２ 答え １５かい

【コメント】

　小学生の方からの解答、大変うれしいです。
もちろん正解です。
実際にうまく動かせましたか。
生徒入れ替え問題なども挑戦してみてくださいね。

◆千葉県の高校生　「ｅｓ」さんからの解答。

問題１　８回
問題２　１５回
問３　ｎ（ｎ＋２）

問１はすぐに解けましたが、問２は苦労しました。

◆千葉県の中学校３年生　翔ちゃん さんからの解答。

１，８回
２，１５回
３，４匹だったら２４回

楽しい

◆東京都の中学校１年生　りさ　さんからの解答。

問題１
８回で､全て移動
右から､２番目､４番目､５番目､３番目､１番目､２番目､４番目､３番目の順に､動かす｡

◆新潟県の中学校３年生　アシェル　さんからの解答。

問題１
右から２番目の黄緑を移動する。
左から２番目の緑を移動する。
一番左の緑を移動する。
最初に移動させた黄緑を移動する。
一番右側の黄緑を移動する。
緑を移動させて黄緑を移動する。

このように行います。

◆愛知県の中学校３年生　三上です。 さんからの解答。

【問題１の答え】８回
右から１２３・・とすると２４５３１２４３

【問題２の答え】１５回
３５６４２１３５７６４２３５４

【問題３の答え】Ｎ（Ｎ＋２）

◆石川県　藤宮　祐也 さんからの解答。

【問題１】

片方にカエルが２匹ずつのとき　８回

【問題２】

３匹ずつのとき　１５回

こつは、移動させている途中に、同じ色のカエルを並べないことでしょうか。
常に緑、黄緑、緑、黄緑…となっていれば、うまくいくと思います。

◆群馬県の中学校３年生　バイパンマン さんからの解答。

図１の答え

左のカエルからA,B,C,Dとすると、移動順序は
B,C,D,B,A,C,D,Aとなる。

図２の答え

左のカエルからA,B,C,D,E,Fとすると移動順序は
C,D,E,C,B,A,D,E,F,C,B,A,E,F,Aとなる。

◆和歌山県の中学校２年生　tama さんからの解答。

8回 左から順番に1、2、3、4、とすると、

(1)(2)　(3)(4)（はじめ）
(1)　(2)(3)(4)
(1)(3)(2)　(4)
(1)(3)(2)(4)
(1)(3)　(4)(2)
　(3)(1)(4)(2)
(3)　(1)(4)(2)
(3)(4)(1)　(2)
(3)(4)　(1)(2)
図2で、左から順に
(1)(2)(3)(4)(5)(6)とすると、
１５回
(1)(2)(3)　(4)(5)(6)
(1)(2)　(3)(4)(5)(6)
(1)(2)(4)(3)　(5)(6)
(1)(2)(4)(3)(5)　(6)
(1)(2)(4)　(5)(3)(6)
(1)　(4)(2)(5)(3)(6)
　(1)(4)(2)(5)(3)(6)
(4)(1)　(2)(5)(3)(6)
(4)(1)(5)(2)　(3)(6)
(4)(1)(5)(2)(6)(3)
(4)(1)(5)(2)(6)　(3)
(4)(1)(5)　(6)(2)(3)
(4)　(5)(1)(6)(2)(3)
(4)(5)　(1)(6)(2)(3)
(4)(5)(6)(1)　(2)(3)
(4)(5)(6)　(1)(2)(3)

◆和歌山県の中学校２年生　ゆり さんからの解答。

8回でできた。 左からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，とする。
ＡＢ　ＣＤ「はじめ」

(1)ＡＢＣ　Ｄ
(2)Ａ　ＣＢＤ
(3)　ＡＣＢＤ
(4)ＣＡ　ＢＤ
(5)ＣＡＤＢ
(6)ＣＡＤ　Ｂ
(7)Ｃ　ＤＡＢ
(8)ＣＤ　ＡＢ
となる

◆和歌山県の中学校２年生　AYAKO さんからの解答。

８回で、できた。
左からＡＢ　ＣＤとする。

ＡＢＣ　Ｄ
Ａ　ＣＢＤ
　ＡＣＢＤ
ＣＡ　ＢＤ
ＣＡＤＢ
ＣＡＤ　Ｂ
ＣＤ　ＡＢとなる。

◆和歌山県の中学校２年生　eri さんからの解答。

最短、８回でできる。

緑緑　黄黄
緑緑黄　黄
緑　黄緑黄
　緑黄緑黄
黄緑　緑黄
黄緑黄緑
黄緑黄　緑
黄　黄緑緑
黄黄　緑緑

◆和歌山県の中学校２年生　貴裕 さんからの解答。

図1

1.○○　●●
2.○　○●●
3.○●○　●
4.○●○●
5.○●　●○
6.　●○●○
7.●　○●○
8.●●○　○
9.●●　○○

◆和歌山県　古岩　大典 さんからの解答。

w-白 b-黒

ww bb
wwb b
w bwb
 wbwb
bw wb
bwbw
bwb w
b bww
bb ww
もうひとつの解答
www bbb
ww wbbb
wwbw bb
wwbwb b
wwb bwb
w bwbwb
 wbwbwb
bw wbwb
bwbw w 
bwbwbw
bwbwb w
bwb bww
b bwbww
bb wbww
bbbw ww
bbb www

◆和歌山県の中学校２年生　I.HOスペシャル さんからの解答。

○○　●●
○○●　●
○　●○●
　○●○●
●○　○●
●○●○　
●○●　○
●　●○○
●●　○○

○○○　●●●
○○　○●●●
○○●○　●●
○○●○●　●
○○●　●○●
○　●○●○●
　○●○●○●
●○　○●○●
●○●○　○●
●○●○●○　
●○●○●　○
●○●　●○○
●　●○●○○
●●　○　○○
●●●○　○○
●●●　○○○

◆群馬県の中学校３年生　希実 さんからの解答。

【問題１】

緑のカエルを★、黄緑のカエルを☆とする。

start　                     
(1)　★★　☆☆
(2)　★★☆　☆
(3)　★　☆★☆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(4)　　★☆★☆
(5)　☆★　★☆
(6)　☆★☆★
(7)　☆★☆　★
(8)　☆　☆★★
(9)　☆☆　★★
【問題２】

緑のカエルを●、黄緑のカエルを○とする。

●→○→○→●→●→●→○→○→○→●→●→●→○→○→●

４匹・・・２４回
【４×（４＋２）＝４×６＝２４】

５匹・・・３５回
【５×（５＋２）＝５×７＝３５】

ｎ匹・・・n(n+2)回
【n×(n+2)=n(n+2)】

緑のカエルをｎ匹、黄緑のカエルをm匹と置く。

ｎ＝１の時→２m＋１
ｎ＝２の時→３m＋２
ｎ＝３の時→４m＋３
ｎ＝４の時→５m＋４
ｎ＝５の時→６m＋５
ｎ＝６の時→７m＋６
ｎ＝７の時→８m＋７

nの時→mn＋m＋nになる。
　【（ｎ＋１）ｍ＋ｎ＝ｎｍ＋ｍ＋ｎ】

◆群馬県の中学校３年生　ともとも さんからの解答。

【問題１】

緑のカエルを○、黄緑のカエルを×として移動するカエルを以下に示す。

○→×→×→○→○→×→×→○

【問題２】

緑のカエルを○　黄緑のカエルを×として以下のように考える

×→○→×→○→×→×→×→○→○→○→×→×→×→○→○→×

四匹のときは２４回
式　４（４＋２）＝２４

五匹のときは３５回でした。
式　５（５＋２）＝３５

ｎ匹の時はｎ（ｎ＋２）＝（ｎ×ｎ）＋２ｎ

感想

五匹と四匹をやるのは簡単だったけど、法則性を見つけるのが大変だった。
疲れました。

◆群馬県の中学校３年生　群馬県のめぐみ さんからの解答。

【問題１】

緑色のカエルを●、黄緑色のカエルを○と置くと、

●●　○○
●　●○○１
●○●　○２
●○●○　３
●○　○●４
　○●○●５
○　●○●６
○○●　●７
○○　●●８
合計　８回

これを式で表すと、それぞれのカエルの数をｎと置くと、
ｎ（ｎ＋２）　である。

出来るようになるまでは、かなりパニックしていました。

三匹の場合、緑のカエルを●、黄緑のカエルを○で置くと、

●●●　○○○
●●　●○○○　１
●●○●　○○　２
●●○●○　○　３
●●○　○●○　４
●　○●○●○　５
　●○●○●○　６
○●　●○●○　７
○●○●　●○　８
○●○●○●　　９
○●○●○　●１０
○●○　○●●１１
○　○●○●●１２
○○　●○●●１３
○○○●　●●１４
○○○　●●●１５　　　　計１５回
ｎ（ｎ＋２）の式からも、１５回であることが求められる。
今回もかなり混乱しましたが、出来ました。
さあ、次は４匹。

緑のカエルを●、黄緑色のカエルを○で置いて考えると、

４匹の場合、

●●●●　○○○○
●●●　●○○○○　１
●●●○●　○○○　２
●●●○●○　○○　３
●●●○　○●○○　４
●●　○●○●○○　５
●　●○●○●○○　６
●○●　●○●○○　７
●○●○●　●○○　８
●○●○●○●　○　９
●○●○●○●○　１０
●○●○●○　○●１１
●○●○　○●○●１２
●○　○●○●○●１３
　○●○●○●○●１４
○　●○●○●○●１５
○○●　●○●○●１６
○○●○●　●○●１７
○○●○●○●　●１８
○○●○●○　●●１９
○○●○　○●●●２０
○○　○●○●●●２１
○○○　●○●●●２２
○○○○●　●●●２３
○○○○　●●●●２４
２４回で完成。
同じ色の物が２つ並ぶのは、奇数の場合は緑が先、偶数の場合は黄緑が先になります。

緑色のカエルをｍ、黄緑色のカエルをｎと置くと、
（ｍｎ＋ｍ＋ｎ）となる。

　この式を求めるのに、かなり困りました。
でも、やっと出来て、ぴたりと当てはまったときは、すごく嬉しかったです。

◆群馬県の中学校３年生　あんず さんからの解答。

【問題１】

緑カエルを●、黄緑カエルを○とする。

　　●●○　○
　　　　↓
　　●　○●○
　　　　↓
　　　●○●○
　　　　↓
　　○●　●○
　　　　↓
　　○●○●
　　　　↓
　　○●○　●
　　　　↓
　　○　○●●
　　　　↓
　　○○　●●
【問題２】

緑カエルを●、黄緑カエルを、○とする。

　　　●●●　○○○
　　　●●●○　○○
　　　●●　○●○○
　　　●　●○●○○
　　　●○●　●○○
　　　●○●○●　○
　　　●○●○●○
　　　●○●○　○●
　　　●○　○●○●
　　　　○●○●○●
　　　○　●○●○●
　　　○○●　●○●
　　　○○●○●　●
　　　○○　○●●●
　　　○○○　●●●
１５回

４匹のとき２４回。
５匹のときは３５回でした。

ｎ匹のときは、（ｎ＋２）×ｎ　となる。

４匹のときで考えてみると４の２多くした数と４をかけると
（４＋２）×４＝２４　となるから、
ｎのときは、（ｎ＋２）×ｎとなるかなと思いました。

緑のカエルをＮ匹、黄緑のカエルをＭ匹とすると
　ＮＭ＋Ｎ＋Ｍ　回となる

◆群馬県の中学校３年生　High standard.L.R.E さんからの解答。

緑ガエルを■、黄緑ガエルを○とする。

【問題１】

◎『■■　○○』→１『■■○　○』→２『■　○■○』→
３『　■○■○』→４『○■　■○』→５『○■○■　』→
６『○■○　■』→７『○　○■■』→８『○○　■■』
【問題２】
◎『■■■　○○○』→１『■■■○　○○』→２『■■　○■○○』→
３『■　■○■○○』→４『■○■　■○○』→５『■○■○■　○』→
６『■○■○■○　』→７『■○■○　○■』→８『■○　○■○■』→
９『　○■○■○■』→10『○　■○■○■』→11『○○■　■○■』→
12『○○■○■　■』→13『○○■○　■■』→14『○○　○■■■』→
15『○○○　■■■』
●最終結論：緑ガエルｎ匹、黄緑ガエルｎ匹の場合。

『ｎ（ｎ＋１）＋ｎ』

蛙跳びゲームを発展させて、緑ガエルをｎ、黄緑ガエルをｍとして考えてみました。
緑ガエルと、黄緑ガエルの数が、違う場合でも求められます。

緑＼黄緑 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ｍ
１ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ ２ｍ＋１
２ ５ ８ １１ １４ １７ ２０ ２３ ３ｍ＋２
３ ７ １１ １５ １９ ２３ ２７ ３１ ４ｍ＋３
４ ９ １４ １９ ２４ ２９ ３４ ３９ ５ｍ＋４
５ １１ １７ ２３ ２９ ３５ ４１ ４７ ６ｍ＋５
６ １３ ２０ ２７ ３４ ４１ ４８ ５５ ７ｍ＋６
７ １５ ２３ ３１ ３９ ４７ ５５ ６３ ８ｍ＋７
ｎ ２ｎ＋１ ３ｎ＋２ ４ｎ＋３ ５ｎ＋４ ６ｎ＋５ ７ｎ＋６ ８ｎ＋７ （ｎ＋１）ｍ＋ｎ

結論【　（ｎ＋１）ｍ＋ｎ　】

◆群馬県の中学校３年生　堕天使 さんからの解答。

緑のカエルを△黄緑のカエルを▲とする。

【問題１】

（▲▲　△△）→（▲▲△　△）→（▲　△▲△）→
（　▲△▲△）→（△▲　▲△）→（△▲△▲　）→
（△▲△　▲）→（△　△▲▲）→（△△　▲▲）
完成！

【問題２】

（▲▲▲　△△△）→（▲▲▲△　△△）→（▲▲　△▲△△）→
（▲　▲△▲△△）→（▲△▲　▲△△）→（▲△▲△▲　△）→
（▲△▲△▲△　）→（▲△▲△　△▲）→（▲△　△▲△▲）→
（　△▲△▲△▲）→（△　▲△▲△▲）→（△△▲　▲△▲）→
（△△▲△▲　▲）→（△△▲△　▲▲）→（△△　△▲▲▲）→
（△△△　▲▲▲）
完成！

蛙跳びゲームを発展させて考えてみました。
黄緑のカエルを　ｍ匹。緑のカエルをｎ匹として考えてみると次のようになりました。

緑＼黄緑 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ m
１ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ m+m+1
２ ５ ８ １１ １４ １７ ２０ ２３ 2m+m+2
３ ７ １１ １５ １９ ２３ ２７ ３１ 3m+m+3
４ ９ １４ １９ ２４ ２９ ３４ ３９ 4m+m+4
５ １１ １７ ２３ ２９ ３５ ４１ ４２ 5m+m+5
６ １３ ２０ ２７ ３４ ４１ ４８ ５５ 6m+m+6
７ １５ ２３ ３１ ３９ ４７ ５５ ６３ 7m+m+7
ｎ n+n+1 2n+n+2 3n+n+3 4n+n+4 5n+n+5 6n+n+6 7n+n+7 mn+m+n

【青木コメント】

本校の生徒が（ｍｎ＋ｍ＋ｎ）回になる理由を考えました。

黄緑色のカエルｍ匹、緑色のカエルｎ匹のとき、
仮にジャンプなしとすると、
黄緑色のカエルｍ匹はそれぞれ（ｎ＋１）コマ進まないといけないので、
全部でｍ×（ｎ＋１）回

緑色のカエルｎ匹はそれぞれ（ｍ＋１）コマ進まないといけないので、
全部でｎ×（ｍ＋１）回。

飛び越える回数はｍ匹とｎ匹がぶつかるので
ｍ×ｎ回。これを引けばよいので全部で

　ｍ（ｎ＋１）＋ｎ（ｍ＋１）−ｍｎ
＝ｍｎ＋ｍ＋ｎ

で皆さんの答えと一致します。

◆東京都の中学校２年生　なっちゃん さんからの解答。

【問１の答え】

左から２番目の緑色のカエルを右に移動させ、右から２番目の黄緑色のカエルを左に一つ飛び移動させる。
一番右の黄緑色のカエルを左に移動させる。
左から３番目の緑色のカエルを右に一つ飛び移動させる。
一番左のカエルを右に一つ飛び移動させる。
左から２番目の黄緑色のカエルを左に移動させる。
右から二番目の黄緑色のカエルを左に一つ飛び移動させる。
そして、右から３番目の緑色のカエルを右に移動させて終わり。
最短で８回移動。

◆和歌山県の中学校３年生　days01 さんからの解答。

2-4-5-3-1-2-4-3
3-5-6-4-2-1-3-5-7-6-4-2-3-5-4

◆和歌山県の中学校３年生　ボナンザ さんからの解答。

2→4→5→3→1→2→4→3

5→3→2→4→6→7→5→3→1→2→4→6→5→3→4

◆和歌山県の中学校３年生　まゆまり子☆★ さんからの解答。

【問題１】

★４→２→１→３→５→４→２→３★

【問題２】

★３→５→６→４→２→１→３→５→７→６→４→２→３→５→４★

◆北海道の高校生　マグとろ さんからの解答。

２−４−５−３−１−２−４−３

３−５−６−４−２−１−３−５−７−６−４−２−３−５−４

◆和歌山県の中学校３年生　豊田 さんからの解答。

3-5-6-4-2-1-3-5-7-6-4-2-3-5-4

◆熊本県の中学校３年生　ドラクエ大好き人間 さんからの解答。

２＞４＞５＞３＞１＞２＞４＞３

◆香川県の小学生　ちひろみわ さんからの解答。

【問題１】

24531243

【問題２】

532467531246534

◆岐阜県の中学校３年生　愛希子 さんからの解答。

2→4→5→3→1→2→4→3
5→3→2→4→6→7→5→3→1→2→4→6→5→3→4

◆徳島県の中学校２年生　風林火山 さんからの解答。

2→4→5→3→1→2→4→3

◆愛知県の中学校２年生　かずきん さんからの解答。

【問題１】

24531243

◆千葉県の中学校１年生　俊一郎　さんからの解答。

問題１は８手、
「２−４−５−３−１−２−４−３」

問題２は１５手、
「３−５−６−４−２−１−３−５−７−６−４−２−３−５−４」

問題３はｎ（ｎ+２）手

◆三重県の中学校２年生　美樹 さんからの解答。

【問題２】

３→５→６→４→２→１→３→５→７→６→４→２→３→５→４

◆岐阜県の中学校３年生　**rika**　さんからの解答。


3→5→6→4→23→5→6→4→2→1→

3→5→7→6→4→2→3→5→4→1→

3→5→7→6→4→2→3→5→4

◆東京都の高校生　松本まりか さんからの解答。

2→4→5→3→1→2→4→3
3→5→6→4→2→1→3→5→7→6→4→2→3→5→4

◆兵庫県の中学校３年生　選択授業Ａ　さんからの解答。

4→2→1→3→5→4→2→3
3→5→6→4→2→1→3→5→7→6→4→2→3→5→4

◆東京都の小学生　キュ-ピー さんからの解答。

【問題１】

４→２→１→３→５→４→２→３

【問題２】

２→４→５→３→１→２→４→３

おもしろかった！

◆神奈川県　takizawa さんからの解答。

最初はどちらを動かしても同じ、動かしたことにより空きが１個ずれ動かせるかえるが２匹になる。
そのうちの最初に動かした色のほうを動かすと、同じ色が２匹並んでもう先に進めなくなる。
なので違う色のかえるを動かすと空きが２個ずれる。
ここでまた動かせるのが２つできるが、片方は次に動かせる２つのどちらを動かしても、同じ色のかえるが二つ並んでしまう。
よって逆を動かす。
このように２つの色が重ならないように進めれば解ける。

本題のｎ匹の時だが

２匹なら、　緑、黄緑、黄緑、緑、緑、黄緑、黄緑、緑　のように動き、

３匹なら、　緑、黄緑、黄緑、緑、緑、緑、黄緑、黄緑、黄緑、緑、緑、緑、黄緑、黄緑、緑　のようになる。

これを見ると２匹の時は、同じ色を２回連続で動かす事を３回行い、そこから一つ少ない数を１回ずつ両端に付ける。

３匹なら真ん中に、同じ色を３回連続で動かす事を３回行う、そこから２匹、１匹と減らして１回ずつ両端に付ける。

ｎの時は、

3n+2(n-1)+2(n-2)+・・・・+4+2
=3n+2･ (n-1)[(n-1)+1]
2
=3n+2･ n(n-1)
2
=3n+2( n2
2		 - n
2		)
=3n-n+n2
=n(n+2) となる。

◆大阪府　らっきー さんからの解答。

【問題３】

手順はかえるを飛び越えないと仮定した場合、
緑Ｎ匹を全部右側に移動する回数はＮ（Ｎ＋１）回であり、
黄色Ｎ匹を全部左側に移動する回数はＮ（Ｎ＋１）回であり、
飛び越える回数はお互いのかえるの数の積に等しいのでＮ×Ｎ

よって、２Ｎ（Ｎ＋１）―Ｎ×Ｎ＝Ｎ2＋２Ｎ回である。

○が左のカエル、●が右のカエル、□が空いている枠を表しています。

  1. ○を□に移動
  2. 次の○の移動で○が２つ続かないか調べる。
  3. ○が続かない→「１」へ、○が続く→「４」へ
  4. ●を□に移動
  5. 次の●の移動で●が２つ続かないか調べる。
  6. ●が続かない→「４」へ、●が続く→「１」へ

こうすれば手詰まりになることはない。

よって、求める回数はＮ2＋２Ｎ回となる。

◆神奈川県の小学生　fumi さんからの解答。

５匹ずつの場合
（みどりをＡ，きみどりをＢ，くうはくをＯとする）

ＡＡＡＡＡＯＢＢＢＢＢ　　
ＡＡＡＡＯＡＢＢＢＢＢ　　
ＡＡＡＡＢＡＯＢＢＢＢ　　
ＡＡＡＡＢＡＢＯＢＢＢ　　
ＡＡＡＡＢＯＢＡＢＢＢ　　
ＡＡＡＯＢＡＢＡＢＢＢ　　
ＡＡＯＡＢＡＢＡＢＢＢ　　
ＡＡＢＡＯＡＢＡＢＢＢ　　
ＡＡＢＡＢＡＯＡＢＢＢ　　
ＡＡＢＡＢＡＢＡＯＢＢ　　
ＡＡＢＡＢＡＢＡＢＯＢ　　
ＡＡＢＡＢＡＢＯＢＡＢ　　
ＡＡＢＡＢＯＢＡＢＡＢ　　
ＡＡＢＯＢＡＢＡＢＡＢ　　
ＡＯＢＡＢＡＢＡＢＡＢ　　
ＯＡＢＡＢＡＢＡＢＡＢ　　
ＢＡＯＡＢＡＢＡＢＡＢ　　
ＢＡＢＡＯＡＢＡＢＡＢ　　
ＢＡＢＡＢＡＯＡＢＡＢ
ＢＡＢＡＢＡＢＡＯＡＢ
ＢＡＢＡＢＡＢＡＢＡＯ
ＢＡＢＡＢＡＢＡＢＯＡ
ＢＡＢＡＢＡＢＯＢＡＡ
ＢＡＢＡＢＯＢＡＢＡＡ
ＢＡＢＯＢＡＢＡＢＡＡ
ＢＯＢＡＢＡＢＡＢＡＡ
ＢＢＯＡＢＡＢＡＢＡＡ
ＢＢＢＡＯＡＢＡＢＡＡ
ＢＢＢＡＢＡＯＡＢＡＡ
ＢＢＢＡＢＡＢＡＯＡＡ
ＢＢＢＡＢＡＢＯＡＡＡ
ＢＢＢＡＢＯＢＡＡＡＡ
ＢＢＢＯＢＡＢＡＡＡＡ
ＢＢＢＢＯＡＢＡＡＡＡ
ＢＢＢＢＢＡＯＡＡＡＡ
ＢＢＢＢＢＯＡＡＡＡＡ

◆埼玉県　masaru2002 さんからの解答。

２匹の場合、

　　１匹左へ
　　２匹右へ
　　２匹左へ
　　２匹右へ
　　１匹左へ

動かせばよい。

一般解も同様に与えられ、

　左右交互に、

　　　１匹左へ
　　　２匹右へ
　　　３匹左へ
　　　　　…
　　　n-1匹左へ
　　　n匹右へ
　　　n匹左へ
　　　n匹右へ
　　　n-1匹左へ
　　　　　…
　　　３匹左へ
　　　２匹右へ
　　　１匹左へ

動かせばよい。

操作回数を示せば、n(n+2)となる。

交互に動かさなければ、衝突が発生するはずなので、上記が最小の手順になるはず。

◆静岡県の小学生　マジシャン さんからの解答。

図１の問題の解答

4→2→1→3→5→4→2→3

図２の問題の解答

5→3→2→4→6→7→5→3→1→2→4→6→5→3→4

図３の問題の解答

4→6→7→5→3→2→4→6→8→9→7→5→3→1→2→4→6→8→7→5→3→4→6→5

図４の問題の解答

7→5→4→6→8→9→7→5→3→2→4→6→8→10→11→9→7→5→3→1→2→4→6→8→10→9→7→5→3→4→6→8→7→5→6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

これって蛙の導き方が分かれば何匹いてもできますよね。
同じ色の蛙がくっつかないように（目的地到達場所の時は省く）していけばできます。
これがぼくの解答（考え方）です。

◆新潟県の中学校３年生　ｓｉ さんからの解答。

●かえるが二匹
4→2→1→3→5→4→2→3
８回

●かえるが三匹
3→5→6→4→2→1→3→5→7→6→
4→2→3→5→4
１５回

●かえるが四匹
4→6→7→5→3→2→4→6→8→9→
7→5→3→1→2→4→6→8→7→5→
3→4→6→5
２４回

●かえるが五匹
5→7→8→6→4→3→5→7→9→10→
8→6→4→2→1→3→5→7→9→11→
10→8→6→4→2→3→5→7→9→8→
6→4→5→7→6
３５回

●かえるがＮ匹　Ｎ2＋２Ｎだと思います。

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