◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
1回の操作で、面積は | 3 4 | 倍になります。 |
2回だと、( | 3 4 | ) | 2 | 倍、3回だと( | 3 4 | ) | 3 | 倍、・・・ |
n回だと、( | 3 4 | ) | n | 倍です。 |
【問題1】
元の三角形の面積は、
20×10÷2=100 (cm2) です。
2回目:100×( | 3 4 | ) | 2 | = | 225 4 | (cm2) |
3回目: | 225 4 | × | 3 4 | = | 675 16 | (cm2) |
4回目: | 675 16 | × | 3 4 | = | 2025 64 | (cm2) |
【問題2】 37=2187ですから、7回目
【問題3】
n→無限大のとき、( | 3 4 | ) | n | →0 となり、 |
講談社ブルーバックス「解ければ天才!算数100の難問・奇問 PART4」にも同様の問題があります。
ただし、5回目の面積、6561個になる回数を聞いています。
また、元の三角形も、直角二等辺三角形(2辺が64cm)で、小学生にも出来るようになっています。
【コメント】
私はその本を持っていないのですが、実は直角二等辺三角形にするかどうか迷いました。
でもシェルピンスキーのギャスケットの美しさにこだわったのです。
しかし、算数でフラクタルを扱おうというのは、すごいですねぇー。
【問題3】でn→無限大のとき、黄色の三角形の個数は無限大になるのに、面積の和が0に近づくのは不思議ですね。
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題3】
フラクタル的?な解答です。
もとの正三角形をA,
[図1回目]の3つの黄色の正三角形の1つをBとします。
Bの面積はAの | 1 4 | で, |
Aの黄色の面積の和(求める面積)の | 1 4 | になります。 |
求める黄色の面積の和をSとすると,
S=3× | S 4 | = | 3 4 | ×S |
よってS=0
◆宮城県 Ihara Yukiko さんからの解答。
【問題1】
一辺20cmの正三角形ABCの面積をS0とする。
頂点Aから辺BCにおろした垂線のあしをHとする。
高さAH=10
よって
S0= | 20×10 2 | =100 |
一回目の試行の後の面積をS1、
二回目の試行の後の面積をS2とする。
試行した後の面積は、試行する前の面積の | 3 4 | である。 |
よって、
S1=S0× | 3 4 | =75 |
S2=S1× | 3 4 | = | 225 4 |
【問題2】
n回の試行で3のn乗個、三角形が出来る。
よって
log32187=n
n=7 答え 7回目
【問題3】
n回の試行でできる図形の黄色い部分の面積Snは
100に | ( | 3 4 | ) | n | をかけたもの |
nを無限に大きくすると( | 3 4 | ) | n | は0に近づく |
よって、面積は0になる
◆兵庫県の中学校一年生 ドラメッド三世 さんからの解答。
【問題1】
三角形の面積は一回の操作で | 3 4 | になります。 |
2回目:
173×( | 3 4 | ) | 2 | = | 1557 16 |
3回目:
173×( | 3 4 | ) | 3 | = | 4671 64 |
4回目:
173×( | 3 4 | ) | 4 | = | 14013 256 |
【問題2】
三角形の個数は、一回の操作で3倍になります。
3x=2187
x=7
答え 7回
【問題3】
無限に繰り返したとき、pになるとすると、
p= | 3 4 | p |
これに当てはまるのは0しかありません。
答え 0
◆埼玉県の中学校二年生 ゲイズ さんからの解答。
【問題1】
1回129.75cm2 2回97.3125cm2 3回72.984375cm2
【問題2】
7回
【問題3】
限りなく0に近くなる
◆滋賀県の小学生 西尾 恭史 さんからの解答。
【問題1】
面積は0.75倍になっていく。
1回目 173×0.75=129.75
2回目 129.75×0.75=97.3125
3回目 97.3125×0.75=72.984375
4回目 72.984375×0.75=54.73828125
【問題2】
三角形の個数は3倍になっていく。
37=2187
A、7回目
【問題3】
1>0.75 だから操作をするごとに面積は減っていくから限りなく0に近づく。
A、限りなく0に近づく。
確か2・3年前にどこかの中学入試問題に出題されていたと思います。
◆佐賀県の高校生 マリー さんからの解答。
【問題1】
最初 | 4 | ×20×20=100 |
一回目 100× | 3 4 |
= | 75 |
二回目 75× | 3 4 |
= | 225 4 |
三回目 | 225 4 | × | 3 4 |
= | 675 16 |
四回目 | 675 16 | × | 3 4 |
= | 2025 64 |
【問題2】
まず、一回目の三角形の数は3個。二回目は9個、三回目は27個・・・というふうに3の乗数で増えていく
。
この調子で考えていくと、三角形の数が2187個になるのは、2187が3の何乗かということを考
えればよい。
2187は3の7乗だから、三角形の数が2187個になるのは7回目である。
【問題3】
限りなくゼロに近づく。