『ノミのジャンプ』

『ノミのジャンプ』解答


◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。

1回の操作で、面積は
倍になります。

2回だと、(
) 2 倍、3回だと(
) 3 倍、・・・
n回だと、(
) n 倍です。

また、三角形の個数は、1回の操作で3倍になります。

【問題1】

元の三角形の面積は、

20×10÷2=100 (cm2) です。

2回目:100×(
) 2 225
4
(cm2)

3回目:225
4
×
675
16
(cm2)

4回目:675
16
×
2025
64
(cm2)

【問題2】7=2187ですから、7回目

【問題3】

n→無限大のとき、(
) n →0 となり、
面積の和は、0に限りなく近づきます。

講談社ブルーバックス「解ければ天才!算数100の難問・奇問 PART4」にも同様の問題があります。
ただし、5回目の面積、6561個になる回数を聞いています。
また、元の三角形も、直角二等辺三角形(2辺が64cm)で、小学生にも出来るようになっています。


【コメント】

 私はその本を持っていないのですが、実は直角二等辺三角形にするかどうか迷いました。
でもシェルピンスキーのギャスケットの美しさにこだわったのです。
しかし、算数でフラクタルを扱おうというのは、すごいですねぇー。

【問題3】でn→無限大のとき、黄色の三角形の個数は無限大になるのに、面積の和が0に近づくのは不思議ですね。


◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。

【問題3】

フラクタル的?な解答です。

もとの正三角形をA,
[図1回目]の3つの黄色の正三角形の1つをBとします。

Bの面積はAの
で,
無限回操作を繰り返したとき,Bの黄色の部分の面積の和は,
Aの黄色の面積の和(求める面積)の
になります。

求める黄色の面積の和をSとすると,

S=3×

×S

よってS=0


◆宮城県 Ihara Yukiko さんからの解答。

【問題1】

一辺20cmの正三角形ABCの面積をSとする。

頂点Aから辺BCにおろした垂線のあしをHとする。

高さAH=10

よって
20×10
=100

一回目の試行の後の面積をS
二回目の試行の後の面積をSとする。

試行した後の面積は、試行する前の面積の
である。

よって、
=S×
=75

=S×
225

【問題2】

n回の試行で3のn乗個、三角形が出来る。

よって
log32187=n

n=7  答え 7回目

【問題3】

n回の試行でできる図形の黄色い部分の面積Sn
100(
) n をかけたもの

nを無限に大きくすると(
) nは0に近づく

よって、面積は0になる


◆兵庫県の中学校一年生 ドラメッド三世 さんからの解答。

【問題1】

三角形の面積は一回の操作で
になります。

2回目:
173×(
) 2 1557
16

3回目:
173×(
) 3 4671
64

4回目:
173×(
) 4 14013
256

【問題2】

三角形の個数は、一回の操作で3倍になります。

=2187

x=7

答え 7回

【問題3】

無限に繰り返したとき、pになるとすると、

p=
となります。

これに当てはまるのは0しかありません。

答え 0


◆埼玉県の中学校二年生 ゲイズ さんからの解答。

【問題1】

1回129.75cm2 2回97.3125cm2 3回72.984375cm2

【問題2】

7回

【問題3】

限りなく0に近くなる


◆滋賀県の小学生 西尾 恭史 さんからの解答。

【問題1】

面積は0.75倍になっていく。

1回目 173×0.75=129.75
2回目 129.75×0.75=97.3125
3回目 97.3125×0.75=72.984375
4回目 72.984375×0.75=54.73828125

【問題2】

三角形の個数は3倍になっていく。
7=2187

A、7回目

【問題3】

1>0.75 だから操作をするごとに面積は減っていくから限りなく0に近づく。
A、限りなく0に近づく。

確か2・3年前にどこかの中学入試問題に出題されていたと思います。


◆佐賀県の高校生 マリー さんからの解答。

【問題1】

最初  
×20×20=100

一回目  100×
75

二回目  75×
225

三回目  225
×
675
16

四回目  675
16
×
2025
64

【問題2】

まず、一回目の三角形の数は3個。二回目は9個、三回目は27個・・・というふうに3の乗数で増えていく 。
この調子で考えていくと、三角形の数が2187個になるのは、2187が3の何乗かということを考 えればよい。
2187は3の7乗だから、三角形の数が2187個になるのは7回目である。

【問題3】

限りなくゼロに近づく。


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