『中学入試の算数』解答

◆東京都　T.Kobayashi さんからの解答。

【問題１】

書くのが面倒なので単位の [g] は省略します。
あと二つの重さを x, y と置く。

1, 1 で構成できる重さは -2, -1, -0, 1, 2 の 5 通り。

1, 1 に何も加えないとすると、符号違いのものを一つと数えると 3 通り。
これに +x だけを加えると 5 通り。
(-x だけを加えても符号違いの同じものが出てくる。以下これを省略する。)

+y だけを加えると 5 通り。
+x+y を加えると 5 通り。
+x-y を加えると 5 通り。

従って、1, 1, x, y で量れる(非負の)重さの総数は、
多くとも 3+5+5+5=23 通りである。
従って、0, 1, …, 22 が全て量れるように x, y を取れればそれが正解である。
そのような x, y は実際に存在して、(x, y)=(5, 15) とすればよい。

0 = 0 - 0,
1 = 1 - 0,
2 = (1+1) - 0,
3 = 5 - (1+1),
4 = 5 - 1,
5 = 5 - 0,
6 = (5+1) - 0,
7 = (5+1+1) - 0,
8 = 15 - (5+1+1),
9 = 15 - (5+1),
10 = 15 - 5,
11 = (15+1) - 5,
12 = (15+1+1) - 5,
13 = 15 - (1+1),
14 = 15 - 1,
15 = 15 - 0,
16 = (15+1) - 0,
17 = (15+1+1) - 0,
18 = (15+5) - (1+1),
19 = (15+5) - 1,
20 = (15+5) - 0,
21 = (15+5+1) - 0,
22 = (15+5+1+1) - 0.

【問題２】

x≡8 (mod 9), ≡7 (mod 8), ≡6 (mod 7), ≡8 (mod 5) から、
中国の剰余定理により x≡2519 (mod 2520) で、
2519 は題意を満たす。

答…2519.

【一休み】

(1) 下 n 桁は 2ⁿ で割り切れる。
そして 10 は 2¹ でちょうど割り切れ、3-2=1 は 2 で割り切れない。
よって題意を満たす数は存在し、しかもただ一通りのみ存在するのである。
実際構成すれば、223232 となる。

答…223232.

(2) 15625*a が求める数とすると、(1) と同様の考察によって、
下 n 桁の考察で、a は 2ⁿ で決まる(一意とは限らない)。

実際計算すると、
a≡1 (mod 2), ≡1 (mod 4), ≡5 (mod 8), ≡13 (mod 16), ≡29 (mod 32)
となって、15625*29=453125 が求める数である。

これ以外にないことは、15625*(29+32)＞453125*2 で、
10⁵ の位が 5 より大きくなるか、7 桁以上になること がわかる。

答…453125.

【問題３】

A=3³³*33! である。

(1) 33! を素数巾に分解したとき、

2 の巾指数は

∞ Σ i=1

gauss(

33 2i

)=16+8+4+2+1=31 、

5 の巾指数は

∞ Σ i=1

gauss(

33 5i

)=6+1=7 。

よって 0 は下 min(31,7)=7 桁並ぶ。

答…7桁.

(2) 33! の素数巾分解で、同様に

3 の巾指数は 11+3+1=15 、
7 　　〃　　 4 、
13　　〃　　 2 、
17　　〃　　 1 、
19　　〃　　 1 、
23　　〃　　 1 、
29　　〃　　 1 。

また、2⁵=32≡2 (mod 10) であることから、

2^31-7*3³³⁺¹⁵*7⁴*13²*17*19*23*29
≡2²⁴*3⁴⁸*7⁴*3²*7*9*3*9
＝2²⁴*3⁵⁵*7⁵
≡2²⁴*3³*7
≡2²⁴*9
≡2⁸*9
≡2⁴*9
≡4 (mod 10) 。

よって、答…4.

【問題４】

(1)

4 5

=

8 10

=

1+2+5 10

から、

4 5

=

1 10

+

1 5

+

1 2

。

また、

4 5

=

16 20

=

1+5+10 20

から、

4 5

=

1 20

+

1 4

+

1 2

。

答…(10,5,2), (20,4,2).

(2)

0.325=

13 40

=

5+8 40

=

1 8

+

1 5

。

答…(8,5).

【問題５】

mod 3 で考えれば、
1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …
で、周期が 8 になることが分かる。
500=62*8+4 だから、0 に等しいものは
62*2+1=125 個あることになる。

答…125個.

【おまけ】

7, 8, 9 で割り切れることが必要十分。

1+2+3+4+6+7+8+9=40 だから、
9 の倍数にするために和が ≡5 (mod 9) になるような 数字を追加しなければならない。

和が 5 の場合は、(1,4) または (2,3) を追加する。

和が 14 以上の場合は、追加分は必ず 2 個以上になり、2 個のときその中に 1 は含まれない。
よって、1,1,2,3,4,4,5,6,7,8 で、上位 2 桁が 11 になるように構成できれば、それが最小ということになる。
そしてそういう数は実際に構成できて、
1123449768が求める数である。

答…1123449768.

# 最後の部分はコンピュータに頼ったんですが、何かうまい方法があるのでしょうか。

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

【問題１】

５ｇと１５ｇにするのがよい。

すると、以下のように１ｇ刻みに１ｇ〜２２ｇの重さを計ることが可能。
（ただし、＋は測る対象と反対の皿に、ーは測る対象と同じ皿に、分銅をのせることを意味する。）

　１＝＋１
　２＝＋１＋１
　３＝ー１−１＋５
　４＝ー１　　＋５
　５＝　　　　＋５
　６＝＋１　　＋５
　７＝＋１＋１＋５
　８＝−１−１−５＋１５
　９＝−１　　−５＋１５
１０＝　　　　−５＋１５
１１＝＋１　　−５＋１５
１２＝＋１＋１−５＋１５
１３＝−１−１　　＋１５
１４＝−１　　　　＋１５
１５＝　　　　　　＋１５
１６＝＋１　　　　＋１５
１７＝＋１＋１　　＋１５
１８＝−１−１＋５＋１５
１９＝−１　　＋５＋１５
２０＝　　　　＋５＋１５
２１＝＋１　　＋５＋１５
２２＝＋１＋１＋５＋１５

【問題２】

２³３²５¹７¹ー１＝２５１９

何故なら、10,9,8,7,6,5,4,3,2 のどれで割っても余りはー１なので、これらの数の最小公倍数から１を引いた数となる筈である。

【一休み】

（１）

求める６桁数が６４の倍数なら、３２や１６や８や４や２の倍数でもある。

そこで、
　２の倍数なら下１桁が　２の倍数であり、
　４の倍数なら下２桁が　４の倍数であり、
　８の倍数なら下３桁が　８の倍数であり、
１６の倍数なら下４桁が１６の倍数であり、
３２の倍数なら下５桁が３２の倍数であり、
６４の倍数なら全６桁が６４の倍数であることを順次利用する。

６桁数 □□□□□？の、　　　　　？が　２の倍数でなければならないので、？は２。
６桁数 □□□□？２の、　　　　？２が　４の倍数でなければならないので、？は３。
６桁数 □□□？３２の、　　　？３２が　８の倍数でなければならないので、？は２。
６桁数 □□？２３２の、　　？２３２が１６の倍数でなければならないので、？は３。
６桁数 □？３２３２の、　？３２３２が３２の倍数でなければならないので、？は２。
６桁数 ？２３２３２の、？２３２３２が６４の倍数でなければならないので、？は２。

よって、求める６桁数＝２２３２３２ 。

（２）

（１）と同様に求めると、求める６桁数＝４５３１２５ 。

【問題３】

Ａ＝３×６×９×……×９６×９９＝３³³(１×２×３×……×３２×３３)と式を変形しておく。

（１）下７桁に０が並ぶ。

明らかに、因数１０の個数と等しい桁数だけ最後の桁に０が並ぶ筈。
ところで、１０＝２ｘ５ だが、
１×２×３×……×３２×３３には、２の倍数は２つに１つ現われるが、５の倍数は５つに１つしか現われない。
よって、因数５の個数と等しい桁数だけ、最後の桁に０が並ぶことになる。
１,２,３,……,３２,３３の内で５の倍数は、明らかに５,１０,１５,２０,２５,３０の６つ。
ところが、２５だけは ２５＝５ｘ５ と 因数５が２つあるので、因数５の個数は全部で７つ。

（２）求める１桁の数字は４である。

１,２,３,……,３２,３３の内で、最後の１桁が２や５や０のものを以下のように表すと、
右辺で下線の引かれた数は２と５で７つずつある。

　２＝２
　５＝５
１０＝２ｘ５
１２＝２　　　ｘ　６
１５＝５　　　ｘ　３
２０＝２ｘ５　ｘ　２
２２＝２　　　ｘ１１
２５＝５ｘ５
３０＝２ｘ５　ｘ　３
３２＝２　　　ｘ１６

これら１４個の積は１０００００００になるので、残ったすべての積の最後の１桁を調べればよいことになる。
また、最後の１桁を求めるのに、最後から２桁目以上は明らかに関与しない筈である。
よって、求める１桁は{３³³}{(１ｘ３ｘ４ｘ６ｘ７ｘ８ｘ９)³}{１ｘ３}{６ｘ３ｘ２ｘ１ｘ３ｘ６}の最後の１桁である。
ところで、１０進表示では ａ と ａ⁴ⁿ⁺¹ の最後の１桁は等しいので、３³³の最後の１桁は３である。（ただし、ｎは非負整数）
このようにして計算すると、求める１桁の数字は４となる。

【問題４】

（１）２と５と１０　あるいは　２と４と２０
（２）５と８

【問題５】

１２５個ある。

何故なら、各数は３で割った余りも前の２数の和となる筈なので、
３で割った余りは１,１,２,０,２,２,１,０を繰り返し、４の倍数番目ごとに３の倍数となる。
よって、３の倍数の個数＝５００÷４＝１２５ 。

◆出題者のコメント。

T.Kobayashi さん、Footmark さん、さっそくの解答をありがとうございます。
お二人ともさすがです。
全問正解で す。 T.Kobayashi さんの問題１、４、５と、Footmark さんの問題２、３、５、一休みは、とっても分かりやすい説明で、 小学生にも理解できる算数の範囲の模範解答だと思います。
それ以外の問題についての感想を、少し書かせてください。

Footmark さんの問題１、４については、解き方が示されればもっといいという感想を持たれる方もおられるかも知れま せんが、見つけることが中心の問題だと思いますので、これで十分だと思います。
ここに載せた問題については、答だ け送られてきても、それでもいいのではないかと思っていたぐらいです。

T.Kobayashi さんの問題２については、中国の剰余定理ですか、解答を見ると想像がつきました。
おまけについては、これは算数オリンピックの問題で、解き方はT.Kobayashi さんが示されたのが分かりやすく、エレガントな方法だと思 います。
9の倍数で最も小さいのは1123446789で、これを並べ替えるのですが、できるだけ下の桁だけ並べ替えたいですよね。
まず8の倍数から、1000が8の倍数ですが下3桁の789を並べ替えてもないので、下4桁を並べ替えると何通りか出てきます。
そこで1123440000を7で割ると4余ることから、下4桁を7で割ると3余るものが求める数です。

算数の問題は、予備知識がほとんど必要のない問題が多く、だれにでも取り組める楽しい問題が多いですね。
お二人以外の方々からも、算数流のいろんな解法をお待ちしております。

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