| 【問題１の解答】 |
| |A-λE|= |
| |
-λ 1
1 1-λ |
| |
=λ2-λ-1 |
|
| Aの固有値は、λ= |
1±
2 |
|
| α= |
1+
2 |
、β= |
1-
2 |
とおくと、α+β=1、αβ=-1 |
|
| 固有ベクトルはそれぞれ、kt(1 α)、kt(1 β)だから、 |
| P= |
( |
1 1
α β |
) |
とおくと、 |
P-1= |
1
β-α |
( |
β -1
-α 1 |
) |
= |
1
α-β |
( |
-β 1
α -1 |
) |
|
|
|
| P-1AnP=(P-1AP)n= |
( |
αn 0
0 βn |
) |
|
|
|
| = |
( |
1 1
α β |
) |
( |
αn 0
0 βn |
) |
1
α-β |
( |
-β 1
α -1 |
) |
|
| = |
1
α-β |
( |
1 1
α β |
) |
( |
αn 0
0 βn |
) |
( |
-β 1
α -1 |
) |
|
| = |
1
α-β |
( |
-αnβ+αβn αn-β
n
-αn+1β+αβn+1 αn+1-βn+1
|
) |
|
| = |
1
α-β |
( |
αn-1-βn-1 αn-β
n
αn-βn αn+1-βn+1 |
) |
（∵αβ=-1） |
|
|
|
| An= |
( |
F[n-1] F[n]
F[n] F[n+1] |
) |
|
【問題２の解答】 |
| |B-λE|= |
| |
-λ -1
1 2cosθ-λ |
| |
=λ2-2λcosθ+1 |
|
Bの固有値は、λ=cosθ±i sinθ
α=cosθ+ i sinθ、β=cosθ- i sinθとおくと、α+β=2cosθ、αβ=1、α-β=2
i sinθ
固有ベクトルはそれぞれ、kt(1 -α)、kt(1 -β)だから、 |
| P= |
( |
1 1
-α -β |
) |
とおくと、 |
P-1= |
1
α-β |
( |
-β -1
α 1 |
) |
|
|
|
| P-1AnP=(P-1AP)n= |
( |
αn 0
0 βn |
) |
|
|
|
| = |
( |
1 1
-α -β |
) |
( |
αn 0
0 βn |
) |
1
α-β |
( |
-β -1
α 1 |
) |
|
| = |
1
α-β |
( |
1 1
-α -β |
) |
( |
αn 0
0 βn |
) |
( |
-β -1
α 1 |
) |
|
| = |
1
α-β |
( |
-αnβ+αβn -αn+β
n
αn+1β-αβn+1 αn+1-βn+1
|
) |
|
| = |
1
2 i sinθ |
( |
-αn-1+βn-1 -αn+β
n
αn-βn αn+1-βn+1 |
) |
（∵αβ=1、α-β=2 i sinθ） |
|
|
| ここで、 αn-βn |
=(cosθ+ i sinθ)n-(cosθ- i sinθ)n
={cos(nθ)+ i sin(nθ)}-{cos(nθ)- i sin(nθ)}
=2 i sin(nθ)
|
| だから、 |
|
| An= |
1
2 i sinθ |
( |
-2 i sin(n-1)θ -2 i sin(nθ)
2 i sin(nθ) 2 i sin(n+1)θ |
) |
|
| An= |
1
sinθ |
( |
-sin(n-1)θ -sin(nθ)
sin(nθ) sin(n+1)θ |
) |
|
