◆石川県 迷える羊 さんからの解答。
【問題１】
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝ｓとする。
ＡＢ⊥ＢＣだから、ベクトルＡＢとベクトルＢＣの内積が０である。
(ｂ−ａ)(ｃ−ｂ)＋(ｂ2−ａ2)(ｃ2−ｂ2)＝０
(ｂ−ａ)(ｃ−ｂ)｛１＋(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)｝＝０
ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄだから、
(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)＝−１・・・(１)
ＣＤ⊥ＡＤ，ＢＤ⊥ＡＣについても同様に、
(ａ＋ｄ)(ｃ＋ｄ)＝−１・・・(２)
(ａ＋ｃ)(ｂ＋ｄ)＝−１・・・(３)
(１)，(２)より、
ａｂ＋ｂ2＋ｂｃ＝ａｄ＋ｃｄ＋ｄ2
ａ(ｄ−ｂ)＋ｃ(ｄ−ｂ)＋(ｄ＋ｂ)(ｄ−ｂ)＝０
(ｄ−ｂ)ｓ＝０
今、ｂ＜ｄだから、ｓ＝０
【問題２】
(３)より、(ｂ＋ｄ)2＝１
今、ｓ＝０，ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄだから、
ａ＋ｃ＜０＜ｂ＋ｄ
よって、
ａ＋ｃ＝−１，ｂ＋ｄ＝１・・・(４)
直線ＡＣの式は、
ｙ＝(ａ＋ｃ)ｘ−ａｃ
＝−ｘ−ａｃ
直線ＢＤの式は、
ｙ＝(ｂ＋ｄ)ｘ−ｂｄ
＝ｘ−ｂｄ
ＢＤとｙ軸の交点Ｐのｘ座標をｐ、
ＡＣとＢＤの交点Ｑのｘ座標をｑ、
ＡＣとｙ軸の交点Ｒのｘ座標をｒとすると、
ｐ＝ｂｄ
ｑ＝(ｂｄ−ａｃ)／２
ｒ＝−ａｃ
凾oＱＲの面積をＳとすると、
Ｓ＝(ｒ−ｐ)(ｑ−ｂｄ)／２
＝(ａｃ＋ｂｄ)2／４
≪感想≫
三角形の面積がすっきりまとまらない。計算ミスだろうか？
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題１】
放物線の解と係数の公式（※）より，
ＡＢ，ＢＣ等の傾きは，ｘ座標の和，ａ＋ｂ，ｂ+ｃ等になる。
ＡＢ⊥ＢＣ から，
(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)＝−１
整理して
ｂ2＋(ａ＋ｃ)ｂ＋ａｃ＝−１ ・・・(ア)
ＣＤ⊥ＡＤ から，
(ｃ＋ｄ)(ａ+ｄ)＝−１
整理して
ｄ2＋(ａ＋ｃ)ｄ＋ａｃ＝−１ ・・・(イ)
(ア)−(イ)
(ｂ＋ｄ)(ｂ−ｄ)＋(ａ＋ｃ)(ｂ−ｄ)＝０
(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ｂ−ｄ)＝０
ｂ＜ｄなので，
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝０ ・・・ (ウ)
【問題２】
ＢＤ⊥ＡＣ から，
(ｂ＋ｄ)(ａ＋ｃ)＝−１
また，(ウ)から
ａ＋ｃ＝−(ｂ＋ｄ) ・・・(エ)
ｂ＋ｄ＞ａ＋ｃ であるから，
ｂ＋ｄ＝１，ａ＋ｃ＝−１・・・(オ)
ＡＢ⊥ＢＣ，ＣＤ⊥ＡＤ から ４点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤはＡＣを直径とする同一円周上にあり，
ＢＤ⊥ＡＣであるから直径ＡＣは弦ＢＤを二等分する。
したがって，ＢＤとＡＣの交点のｘ座標は
(ｂ＋ｄ)/２＝１/２
また，ＡＣとＢＤのｙ切片は ※より，それぞれ
−ａｃ，−ｂｄ となり，求める三角形の面積は
ABS(ａｃ-ｂｄ)/４ で求められる。
ここで，(エ)を(ア)に代入すると，
ｂ2−(ｂ＋ｄ)ｂ＋ａｃ＝−１ となり，
−ｂｄ＋ａｃ＝−１
したがって，求める三角形の面積は１/４
※ 放物線の解と係数の公式
ｙ＝ｋｘ2上のｘ座標がｐ，ｑである２点を通る直線の傾きは
ｋ(ｐ＋ｑ)， ｙ切片は −ｋｐｑ
【問題２の後半の別解】
(オ)から，ＢＤの傾きは１，ＡＣの傾きは−１となり，求める三角形は
高さが１/２の直角二等辺三角形
したがって，求める三角形の面積は１/４
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
| ＡＢのかたむきは | b2-a2 b-a | =a+b |
| ＢＣのかたむきは | c2-b2 c-b | =b+c |
| ＣＤのかたむきは | d2-c2 d-c | =c+d |
| ＡＤのかたむきは | d2-a2 d-a | =a+d |
| ＢＤのかたむきは | d2-b2 d-b | =b+d |
| ＡＣのかたむきは | c2-a2 c-a | =a+c |
ＡＢ⊥ＢＣなので(a+b)(b+c) = ab+ac+b2+bc = -1 ...(1)
ＣＤ⊥ＡＤなので(c+d)(a+d) = ac+ad+cd+d2 = -1 ...(2)
ＢＤ⊥ＡＣなので(b+d)(a+c) = ab+ad+bc+cd = -1 ...(3)
(3)-(1) より ac+b2-d(a+c) = 0 ...(4)
(3)-(2) より ac+d2-b(a+c) = 0 ...(5)
(4)-(5) より
(b2-d2)+(b-d)(a+c)
= (b+d)(b-d)+(b-d)(a+c)
= (b-d)(a+b+c+d)
= 0
ｂ＞ｄなのでｂ−ｄ＞０。
したがってa+b+c+d＝0。
【問題２】
直線ＡＣの式は y = (a+c)x-ac
直線ＢＤの式は
y = (b+d)x-bd = -(a+c)x-bd
(a+b+c+d=0 だから)
| この２直線の交点のｘ座標は | ac-bd 2(a+c) | 。 |
また、
直線ＡＣとｙ軸との交点のｙ座標は -ac
直線ＢＤ 〃 -bd
よって、この２点の距離は|ac-bd|
したがって、求める領域（三角形）の面積は
| |ac-bd|×| | ac-bd 2(a+c) | |× | 1 2 |
| ＝ | (ac-bd)2 4|a+c| | ...(6) |
ここでＡＣとＢＤは垂直だから
-(a+c)2＝-1
つまり|a+c|=1...(7)
またａ＜ｂ＜ｃ＜ｄで、ＡＣ(傾きa+c)とＢＤ(傾きb+d)が直交しているので、
(a+c)(b+d)＝-1
|a+c|＝1 ということは、
明らかに a+c=-1, b+d=1 です。
(4)+(5)より
2ac+(b2+d2)-(b+d)(a+c)
= 2ac+{(b+d)2-2bd}+1
= 2ac-2bd+2
= 2(ac-bd)+2
= 0
よって ac-bd =1
| これと(6)、(7)より、求める面積は | １ ４ |