『放物線 Part3』解答


◆東京都 千葉 英伸 さんからの解答。

【問題1】

△OPQの3辺の長さを求めてみると、

となり、辺の比が1:1: の直角二等辺三角形なので、
∠POQ=45゚

1 は直線OP:y=3χと放物線y=χ2の交点で、題意から原点Oとは異なる点なので、

1=(3,9)

同様に、C1
OQ:y=
――
χ
と放物線の交点なので、

1=(
――

――

【問題の考察】

先へ進む前に、この問題の性質を考えてみる。

まず、直線 A22が原点を通ることを示す。
直線A22と直線C22の交点をO2とする。

問題から、

@ 四角形A1111と四角形A2222が相似

AA11とB11は平行
(@よりA22とB22も平行)

この条件をもとに、"図形"的に考えると、

@より対応する角はそれぞれ等しく、Aの条件とあわせれば、図1の4つの三角形はすべて相似であることがわかる。
つまり、
△OA11∽△OB11∽△O222∽△O222

さらに、@より対応する辺どうしの比も等しいから、
OB1:B11 =OC1:C11=O22:C22

ここで、C2,D2 はもともとB1,A1と同一の点なので
OB1=O21

つまり、O2と原点Oとは一致する。
(ひょっとして、自明かな?)

図1では、説明のために線分OA1上にB1をとっているが、それ以外の場合も同様。

一般のnについても、同様の操作を繰り返すだけなので、
図1のように原点と四角形Kn でつくられる三角形はすべて相似で、
直線Annは原点を通ることがわかる。

また、∠AnODn=∠POQ=45゚(問題1より)なので、
問題の操作によって、四角形Knは原点を中心に45゚ずつ分けられた8つの象限を順番に移動し、8回の操作で元の象限に戻ってくる。

【問題2】

上記の考察から、直線A22は原点を通り、直線OQと直交する。

従って、直線 A22: y=−2χとなる。

今、A2は放物線y=χ 2上にあるので、
その座標は、(-2,4)。

また、明らかに
△A1OC1∽△A2OC2なので、
OA1:OC1=OA2:OC2

OC2を斜辺とし、x軸、y軸に平行な辺でつくられる直角三角形を考えると、
x軸に平行な辺、y軸に平行な辺、OC2 の比は、
1:3: なので、
2=B1の座標は、

1
――
12

――

【問題3】

四角形 A1111
四角形 A2222が合同になるような
1を求めればよい。

△A1OC1≡△A2OC2となるような条件は、


OC2=OC1

――

あとは、問題2と同様にして、


1
(
――

―――
)

【問題4】

まず、比の条件からA9の座標を求めてみる。

考察から、対応する長さの比は等しく、
OAn:ODn=OA1:OD1=m:1なので、

OAn=mODn=mOAn-1=・・・=mn-1OA1 (*)

9は8回目の操作だから直線OA1上にあり、
OA9=m8OA1

∴A9=(3m8,9m8)

このA9
放物線y= χ2
――
8
上にある。
また、D1
放物線y= χ2
――
8
直線OQ:y=
――
χ
の交点なので、

1
( 8
――
8
――
)

次にC9の座標を求めてみると、
四角形A1111と四角形A9999は相似だから、
OA1:OA9=OC1:OC9=1:m8

∴C9
( 8
――
8
――
)

つまり、D1とC9は一致するので、
線分A11と線分B99も一致し、隙間ができることはなく、重なることもない。

さらに、D1の座標がわかったので、
OA1:OD1=m:1から、mを求めると、

よって、m>1なので、(*)により、
OAn→∞(n→∞)

各Knの相似性から、原点の周りをのぞいて、隙間ができることはなく、重なることもなく座標平面を覆う。

【問題5】

9=12より、
8=12.3897723837・・・

計算は省きますが(^_^;)、
点(1999,1999)は K25に含まれる。


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