（等号成立はｑ＝−ｐのとき）
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題２−１】
放物線の解と係数の関係より
直線ＰＯ，ＯＱの傾きは，それぞれｐ，ｑ
直線ＰＱの切片は −ｐｑ
ＰＯ⊥ＱＯ から ｐｑ＝−１
したがって，
直線ＰＱの切片 −ｐｑ＝１となり
直線ＰＱは，定点Ｒ（０，１）を通る
【問題２−２】
直角三角形の斜辺は他の１辺より長いので，
ＰＱ≧ｑ−ｐ
（等号はＰＱ//ｘ軸のとき）…(1)
また，ｑ＞０，−ｐ＞０なので，
相加平均≧相乗平均（問題１）より
（等号成立はｑ＝−ｐのとき）
ｐ＝−１，ｑ＝１のとき，
Ｐ(−１，１)，Ｑ(１，１)となり、(1)，(2)ともに等号が成立する。
したがって，ＰＱ≧２となり，
ＰＱの最小値は２
◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題２−１】
| → | → | ||
| ｏｐ | ＝(ｐ，ｐ2)， | ｏｑ | ＝(ｑ，ｑ2) |
２つのベクトルの内積が０であることより、
ｐｑ・（ｐｑ＋１）＝０ 、ｐｑ≠０ より
ｑ＝−１／ｐ
これを 直線の方程式に代入し
ｘ・ｐ2＋（１−ｙ）・ｐ−ｘ＝０を得る 。
ｐについての恒等式だから、
ｘ＝０、ｙ＝１を得る。
従ってＲ（０，１）…答え
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
| ( |  | − |  | )2＝Ａ＋Ｂ−２ |  | ≧０ |
したがって
| Ａ＋Ｂ≧２ | |
等号が成立するのは
| − | | ＝０のとき、 |
【問題２】
直線ＯＰの式はｙ＝ｐｘ、直線ＯＱの式はｙ＝ｑｘ。
この２直線が垂直なので、ｐｑ＝−１。...(1)
また、条件より−ｑ＞０となるので
問題１及び(1)より
ｐ−ｑ＝ｐ＋(−ｑ)≧２(-pq)＝２となる。...(2)
【問題２−１】
直線ＰＲの傾きは
| p2-q2 p-q | = | (p+q)(p-q) p-q | =p+q |
点(p, p2)を通ることから
この直線の式は ｙ＝(ｐ＋ｑ)ｘ−ｐｑとかけるが、
(1)より、ｙ＝(ｐ＋ｑ)ｘ＋１となる。
これは、定点（０、１）を通る直線である。
【問題２−２】
| 線分ＰＱの長さを | | とすると、 |
Ａ＝(p2-q2)2+(p-q)2
＝((p+q)(p-q))2+(p-q)2
＝(p-q)2((p+q)2+1)
＝(p-q)2((p-q)2+4pq+1)
＝(p-q)2((p-q)2-3) ←(1)より。
＝(p-q)4-3(p-q)2
＝((p-q)2-3/2)2-9/4
≧(22-3/2)2-9/4 ←(2)より。
＝４
| したがって | | ≧２。 |
最小値２をとるのはｐ＝−ｑのときで、
(1)よりこれはｐ＝１、ｑ＝−１のときとわかる。
※このときｐ＋ｑ＝０だから、ＰＲはｘ軸に平行な線となりますね。
頭の中でイメージしてみれば、確かにこのときに最小になりそうです。
＜おまけ＞
問題１はいわゆる相加平均・相乗平均の関係ですね。
０以上の数Ａと同じくＢがあった場合、
| （Ａ＋Ｂ）÷２が相加平均で、 | | が相乗平均。 |
そして常に相加平均≧相乗平均で、等しくなるのはＡ＝Ｂの場合。
さて、このことは私も高校のときに習ったのですが、その際に先生いわく・・・
「基本的には、学期の成績って中間テストと期末テストの点数の相加平均で出してますよね。
これ、相乗平均で出してみたらどうでしょう。
相加平均よりは点数が減るから、みんなよほど頑張らないといい点数にならないですよぉ（ニヤリ）。
それと、中間テストで０点でも、期末テストで100点とれば、相加平均なら50点もらえるわけなんですが、相乗平均だと・・・（笑）」
同じ高校の出身である妻は、これに対し・・・
「あたしにはあんまり関係ないよ。どうせ中間＝期末＝０点だから（！）」