◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
凹部のある図形や、穴の空いた図形については、まだわかりません。
凹部も穴もない図形について考えます。
図形の周上の１点をＡとするとき、点Ａを通りこの図形の面積を２等分する直線ＡＢ（点Ｂは図形の周上のもう一方の点）を引くことは出来ます。
この時、点Ａから点Ｂまでを周に沿っていく経路の長さの片方をα、他方をβとします。
ただしα≦βとします。
α＝βであれば、題意を満たす直線Ｉが存在したことになります。
α≠βの時、周の長さの半分γに対して、
α＜γ＜βとなります。
今、点Ａを周に沿って動かし、その都度、面積を２等分する直線ＡＢを引くとき、点Ａが最初に点Ｂがあった位置に来るまでに、点Ａから点Ｂまでの経路の長さは、αからβへ、他方はβからαへ連続的に変化します。
その途中で、必ず経路の長さがγに一致するところがあるので、題意を満たす直線Ｉは必ず存在します。
【問題２】
（補題１）
となりあう２辺の長さの和が一定のとき、２辺の長さが等しいときが面積最大になる。
（証明）
三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを固定し、
ＡＢ＋ＡＣを一定にしたまま点Ａを動かすと、点Ａは、２点Ｂ、Ｃを焦点とした楕円の上を動き、三角形ＡＢＣの面積が最大（高さが最大）になるのは、
ＡＢ＝ＡＣ のとき（点Ａが短軸上にあるとき）である。
（補題２）
四角形以上の多角形で、連続する３つの辺の長さが等しいとき、その間の２つの角が等しいとき、面積最大になる。
（証明）
図のような、四角形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣを固定し、
ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＡ＝ａ を保ちながら、点Ａ、Ｄが動くとする
（ただし、四角形ＡＢＣＤは凹四角形にならないとする）。
このとき、図のように角θ、φをとると、
対角線ＡＣを、三角形ＡＢＣ、三角形ＡＣＤにおける余弦定理で表すと、
ＡＣ2＝ａ2＋ａ2−２ａ2cosθ
ＡＣ2＝ａ2＋ｂ2−２ａｂcosφ
これより、
|
ａ2−ｂ2 ―――――― ２ | ＝ａ2cosθ−ａｂcosφ・・・(1) |
一方、四角形ＡＢＣＤの面積をＳとすると、
Ｓ＝△ＡＣＤ＋△ＡＢＣ
| ＝ |
１ ―― ２ | （ａ2sinθ＋ａｂsinφ） |
２Ｓ＝ａ2sinθ＋ａｂsinφ ・・・(2)
(1)と(2)をそれぞれ２乗して加えると、
| ４Ｓ2＋ |
(ａ2−ｂ2)2 ―――――― ４ |
| ４Ｓ2＝ |
３ａ4 ―――― ４ | − |
ｂ4 ――― ４ | ＋ |
３ａ2ｂ2 ――――― ２ | − | ２ａ3ｂcos(θ＋φ) |
よって、面積Ｓが最大になるのは、
cos(θ＋φ)＝−１
のとき、つまり、θ＋φ＝１８０°のとき。
このとき、四角形ＡＢＣＤは円に内接し、∠ＢＡＤと∠ＡＤＣは等しくなる。
（補題１）（補題２）より、
ｎ角形の辺の長さの和が一定（＝１）のとき、面積が最大となるのは、正ｎ角形のときであるといえる。