◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
０，１，２，３，４，５，６を使って出来る７桁の数は、３の倍数である。
０＋１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１。
２１÷３＝７。
平方数の元の数は３の倍数でなければならない。
(３×χ)2＝９×χ2
上記のように求める平方数は９の倍数でなければならない。
２１は９で割り切れない。
したがって、題意を満たす平方数は存在しない。
【問題２】
平方数を、
A*1000+A*100+B*10+B=χ2 とする。
A*1000+A*100+B*10+B
=1100*A+11*B
=11*(100*A+B)...1)
32≦χ≦99.....2)
(31*31=961. 32*32=1024. 99*99=9801. 100*100=10000.)
1)からχは11の倍数でばければならない。
1),2)から
χ=33,44,55,66,77,88,99 でなければならない。
このなかで題意を満たすχは、
33*33=1089.
44*44=1936.
55*55=3025.
66*66=4356.
77*77=5929.
88*88=7744.
99*99=9801.
88*88=7744 だけである。
答え ７７４４。
【問題４】
5a+7b=m2...1)
7a-5b=n2...2)
a,bを求める。
| a= |
5m2+7n2 ―――――― 2*37 |
| b= |
7m2-5n2 ―――――― 2*37 |
5m2+7n2,7m2-5n2は２の倍数である。
したがって、a,bが自然数であるためには、
5m2+7n2,7m2-5n2が３７の倍数でなければならない。
また５，７，３７は素数であるから、
m2,n2が３７の倍数でなければならない。
したがって1),2)を満たす最小のm,nは、
m=37,n=37.
m2=1369.n2=1369.
このときa=222,b=37.
また必然的にa,bも３７の倍数になっている。
a=222=37*6. b=37*1.
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
ある平方数が、３で割り切れるとすると、この平方数は９でも割り切れるはずです。
ところが、１＋２＋３＋４＋５＋６＋０＝２１ですから、これら７つの数字を並べ替えて出来る数は、３で割り切れますが、９では割り切れません。
よって、題意のような平方数は存在しません。
◆神奈川県 いわし さんからの解答。
【問題３】
題意の数Nは、
N=A・10n+B=A・2n・5n+B
(nは2以上の自然数)と書けます。
kを自然数として
A・2n・5n+B=k2 (1)
とおきます。
まず、kの一位の数をr(k)とし、r(k)とr(k2)の関係を調べますと、
| r(k) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| r(k2) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
となり、B≠0ですから、Bは1,4,5,6,9のいずれかです。
B=1のとき、
これを(1)に代入すると
A・2n・5n=(k+1)(k−1)を得ます。
ここで、k+1, k−1を5で割った余りは異なりますから、
k+1, k−1の一方は因数5nを持ち、他方は因数5を持ちません。
因数5nを持つ方をu、他方をvとおきます。
また、u, vの偶奇は一致し、積が偶数ですから、ともに偶数です。
すなわち、uは2・5nを因数に持ちます。
n=2のときを考えますと、uは2・52=50の倍数ですから50以上です。
すると他の因数をすべて集めてもvは9・21=18以下ですから、uとvの差が2になることはありません。
関数f(n)をf(n)=2・5n−9・2n−1により定義すると、
f(n)はnの増加関数ですから、n≧3のときも解はありません。
(uとvの差は開く一方です)
B=4のとき、
A・2n・5n=(k+2)(k−2)
となりますから、B=1のときと同様の議論により解はありません。
B=5のとき、
N=A・2n・5n+5=5(A・2n・5n−1+1)
と書けます。
ここで、n≧2ですから括弧内は5の倍数ではありません。
すなわちNは素因数5を1つだけ持ちますから、平方数ではありません。
B=6のとき、
N=A・2n・5n+6=2(A・2n−1・5n+3)
と書けます。
ここで、n≧2ですから括弧内は奇数です。
すなわちNは素因数2を1つだけ持ちますから、平方数ではありません。
B=9のとき、
A・2n・5n=(k+3)(k−3)
となりますから、B=1のときと同様の議論により解はありません。
以上により、Nが平方数となることはありません。