◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
Ｂさんの答えに対する適確な反論が出来ないのですが、たぶん無限に関係したパラドックスだと思います。
無限に放射線を引けば、円の面積になるのか？。
モンテカルロ法による。
大きい円の面積は、４πＲ2。小さい円の面積はπＲ2。
したがって面積比は、１：４となる。
条件１として必ず円のなかに針がささる。
条件２として熟練してない事（ランダムに）。
条件１、条件２のもとでは、１：４になる。
条件１をはずしても、１：４になる。
答え １：４
「鋭角三角形になる確率は？」を思い出しました。
嫌な予感がします。
【コメント】
はい、その嫌な予感は正しいです。(^_^;
実は「ビュッフォンの針」は、「鋭角三角形の確率」の解説用に使おうと思ったのですが、それではつまらないので問題にしたのです。
しばらくして正解がこなかったら、私の方で説明することにしましょう。
【正解】
実はこの問題には正解がない、あるいは問題が不備であるというのが正解です。
例えば、半径が５０ｍと１００ｍの円で自分がその中心に立っているとしましょう。
何回針を刺しても、ほぼ１００％の確率で、内側の円に刺さるでしょう。
うまい例を思いつかないのですが、例えば顔を近づけて針を刺した場合は、外側の円に刺さる場合が多くなるのではないでしょうか。
つまりこの問題は状況によって、確率が変わってしまうのです。
したがって、例えば確率は面積に比例するとか、なんらかの指定がない限りは答えは一意には定まりません。
◆東京都 建築家 さんからの解答。
状況によって確率が変わってしまうのであれば、case別に状況を想定して
すべての場合の確率を網羅すればよいので問題ありません。
この問題の場合はコンピュータでやってみれば普通に1：4に収束すると思われます。
Bさんの「線分を無数に引けば、円盤を覆い尽くすことができます」
という部分に問題があります。
面には無数の線が含まれていますが、逆が常に成り立つとは限りません。
ちりがつもっても山になるとは限らないのです。
図2を見ても分かるように線分の分布は不均一です。(真ん中の色が濃い)
ただし面積があるものを無限に細くして極限を取るという方法を用いれば、線の集合を面に見立てる事ができます。
この場合は曲座標の積分と同じことになるのでAさんの答えと同じになります。