◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
図のように、長方形の辺で次々に折り返し、鏡像を作ります。
Ａを原点として、ＡＤ方向をｘ、ＡＢ方向をｙとし、
各頂点を(x,y)の形で表します。
例えば、
B1:(2,1)、B2:(4,1)、B3:(2,3)、B4:(4,3)です。
この時、原点から、各頂点を結んだ線分が、辺と交わる回数が反射した回数になります。
B1 は１回、B2 は３回、B3 は３回、B4 は５回です。
一般に、点Ｂ(x,y) は、
x(＞0)は偶数、y(＞0)は奇数、x と y は互いに素であり、このとき光線は、
x+y-2 回反射します。
そして、ＡＢ：ＢＣ＝ｘ：ｙであれば、
４５度の角度で発した光線がちょうど点Ｂを通ることになります。
５回の反射でＢに達するには、
x+y-2=5 つまり、x+y=7 であり、そのようなＢの座標は、
(2,5)、(4,3)、(6,1) です。
（マイナス側にも存在しますが、対称ですので、省略します）
ｘ：ｙが０．５以上２未満になるのは、
(4,3) の時だけです。
答え：ＡＢ：ＢＣ＝４：３
【問題２】
問題１と同様に鏡像を作り、Ａを原点とし、
ＡＤ方向をｘ、ＡＢ方向をｙ、ＡＥ方向をｚとすると、
Ｂの座標（ｘ，ｙ，ｚ）は、
ｘ(＞0)は偶数、ｙ(＞0)は奇数、ｚ(＞0)は偶数であり、ｘ，ｙ，ｚ のどの２数も互いに素
であり、このとき光線は、
x+y+z-3 回反射します。
以上より、x+y+z-3 は必ず偶数になるので、奇数回の反射で光線がＢに達することはありません。
証明終わり