◆山形県の高校生 ice-tea さんからの解答。
【証明】
図の円の中心をＯとすると
∠ＯＭＱ＝ＯＭＰ＝９０°なので三平方の定理より
ＯＰ2＝ＯＭ2＋ＭＰ2
ＯＱ2＝ＯＭ2＋ＭＱ2
それぞれ足して
ＯＰ2＋ＯＱ2＝２ＯＭ2＋ＭＰ2＋ＭＱ2
となるので中線定理よりＭがＰＱの中点であるには
ＭＰ2＝ＭＱ2 すなわち
ＭＰ＝ＭＱ
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
ｘｙ座標の原点を中心とする半径１の円で考える。
点Ｍ（0,d)とおくと
直線XY y=d
直線ＡＢ ｙ＝ax + d
直線ＣＤ ｙ＝bx + d
直線ＡＢと円の交点のｘ座標をあらわす方程式
（ax + d）2 + x2 = 1の解を
α，β，０＜aα として
点Ａ（α，aα＋ｄ） 点Ｂ（β，aβ＋ｄ）
同様に、方程式（ｂx + d）2 + x2 = 1 の解を
γ，δ，０＜ｂγ として
点Ｃ（γ，ｂγ＋ｄ） 点Ｄ（δ，ｂδ＋ｄ）
直線ＡＤ｛ y -（aα＋ｄ）｝（α-δ）＝（ａα-ｂδ）（ｘ−α）
点Ｐのｘ座標は、上の式にｙ＝ｄを代入して
| ｘ＝ | （a-b)αδ ａα-ｂδ |
| ｘ＝ | （a-b)βγ ａβ-ｂγ |
ｆ＝（ａβ-ｂγ）αδ + βγ（ａα-ｂδ）とおくと
２次方程式の解と係数の関係からｆ＝０
よってＰＭ＝ＱＭ
◆出題者のコメント。
ice-teaさん、甘泉法師さん、解答ありがとうございます。
ただ、ice-teaさんの証明は、証明すべきことを前提にして証明しているようなもので、証明になってないですね。
ＭがＰＱの中点であれば中線定理が成立するので、
確かに (ＭＰ)2＝(ＭＱ)2 です。
（もっとも、ＭがＰＱの中点であれば、中線定理を使うまでもなく、明らかに ＭＰ＝ＭＱ ですが…。）
しかし、ＭがＰＱの中点であることを証明しなければならない筈です。
甘泉法師さんの証明は、流石に鮮やかですね。
こんなにスマートな証明があるとは驚きです。
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【証明】
点Ｍを通る直径について点Ｄと対称な点をＥとする。
明らかに点Ｅはこの円の円周上にある。
対称性から、ＭＤ＝ＭＥ…（１），
∠ＭＤＥ＝∠ＭＥＤ…（２），
∠ＰＭＤ＝∠ＱＭＥ…（３）
ＸＹ//ＤＥより、∠ＱＭＥ＝∠ＭＥＤ…（４）
（２），（４）から、∠ＭＤＥ＝∠ＱＭＥ…（５）
また、四角形ＢＣＤＥは円に内接するので、
∠ＭＤＥ＋∠ＱＢＥ＝１８０°
これと（５）より、∠ＱＭＥ＋∠ＱＢＥ＝１８０°
よって、対角の和が１８０°なので、四角形ＢＱＭＥは円に内接する。
その円において、円周角の定理より、
∠ＭＢＱ＝∠ＭＥＱ…（６）
また、もとの円において、円周角の定理より、
∠ＭＤＰ＝∠ＭＢＱ
これと（６）より、∠ＭＤＰ＝∠ＭＥＱ…（７）
ここで、△ＰＤＭと△ＱＥＭにおいて、
（１），（３），（７）より、二角夾辺相等より、
△ＰＤＭ≡△ＱＥＭ
よって、ＰＭ＝ＱＭ
[証明終]
ちなみにこれは、『胡蝶定理』といいます。
◆出題者のコメント。
もやしさん、解答ありがとうございます。
それにしても、目が眩むほど鮮やかな証明ですね。
（しかも初等幾何だけで…。）
『胡蝶定理』って言うんですか。
１つ勉強になりました。