◆大阪府 河野 進 さんからの解答。
a = du, b = dv とします。
mu (s) は、整数 s を u で割ったあまりとします。この時、
| [ | s u | ]= | s-mu (s) u |
また、(u, v) = 1 なので、
| s+u-1 Σ i=s | mu (vi)j = | u Σ i=1 |
ij |
【問題１】
| a Σ i=1 | [ | bi a | ] |
| = | a Σ i=1 | [ | vi u | ] |
| = | a Σ i=1 | vi-mu (vi) u |
| = | a Σ i=1 | vi u | - | a Σ i=1 | mu (vi) u |
| = | av(a+1) 2u | - | du(u-1) 2u |
| = | (a+1)(b-1) 2 | + | d+1 2 |
| 従って、問題に | d-1 2 | とあるのは | d+1 2 | ではないでしょうか。 |
【コメント】
早速問題を訂正しました。
【問題２】
| a Σ j=1 |
[bj/a] Σ i=1 | (bj-ai) |
| = | a Σ j=1 | (vj[ | vj u | ] - | du[ | vj u | ] | [vj/u]+1 2 | ) |
| = | du 2 |
a Σ j=1 | vj- mu (vj) u | ( | vj+mu (vj) u | - 1) |
| = | du 2 | { | a Σ j=1 | (( | vj u | ) | 2 | - | ( | mu (vj) u | ) | 2 | - | vj u | + | mu (vj) u | )} |
| = | du 2 | { | av2(a+1)(2a+1) 6u2 | - | du(u-1)(2u-1) 6u2 |
- | av(a+1) 2u | + | du(u-1) 2u | } |
| = | b2(a+1)(2a+1) 12 |
- | (a-d)(2a-d) 12 |
- | ab(a+1) 4 | + | a(a-d) 4 |
| = | 2a2･b2-3a2･b +a2+3a･b2-3ab+b2-d2 12 |