『ガンマ関数の微分？』

『ガンマ関数の微分？』解答

◆東京都　ぽこぺんさんからの解答。

∂
∂a B(a, b)　を次の二通りの方法で計算する。

(1) 定義式において，微分と積分の順序交換を行う：

∂
∂a B(a, b)　=   ∂
∂a 1
∫
0 t^a-1 (1-t)^b-1 dt　=   1
∫
0 ∂
∂a t^a-1 (1-t)^b-1 dt　=   1
∫
0 (log t) t^a-1 (1-t)^b-1 dt

(2) Γ 関数に直して微分する：

∂
∂a B(a, b)　=   ∂
∂a Γ(a) Γ(b)
Γ(a+b)   =　Γ(b) Γ '(a) Γ(a+b) - Γ(a) Γ '(a+b)
{ Γ(a+b) }²   =　B(a, b) { Γ '(a)
Γ(a) - Γ '(a+b)
Γ(a+b) }

以上より，

1
∫
0 (- log t) t^a-1 (1-t)^b-1 dt =　B(a, b) { Γ '(a+b)
Γ(a+b) - Γ '(a)
Γ(a) }

を得る。これはまた，ディガンマ関数

ψ(x)　= d
dx logΓ(x)　= Γ '(x)
Γ(x)

を用いれば，

1
∫
0 (- log t) t^a-1 (1-t)^b-1 dt =　B(a, b) { ψ(a+b) - ψ(a) }

と書ける。