◆東京都の中学校３年生 もやし さんからの解答。
直方体の３辺の長さをａ，ｂ，ｃ（いずれも自然数）とすると、
全ての面の個数は、言うまでもなく６ａｂｃ （個）
塗られている面の個数は、表面積に等しいので、
２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ （個）
したがって、塗られていない面の個数は、
６ａｂｃ−２ａｂ−２ｂｃ−２ａｃ （個）
条件から、
２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ＝６ａｂｃ−２ａｂ−２ｂｃ−２ａｃなので、
６ａｂｃ＝４ａｂ＋４ｂｃ＋４ａｃ
３ａｂｃ＝２(ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ) …(1)
３ａｂｃ−２ａｂ−２ｂｃ−２ａｃ＝０ …※
(1)で右辺が偶数なので、左辺のａ，ｂ，ｃのいずれかも偶数でなければならない。
また、３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）で表すとすると、（１，２，３）と（２，１，３）は同じものになる。
したがって、ａが偶数で、ｂ≦ｃの場合だけ考える。
ａ＝２のとき、※に代入し、整理すると、
ｂｃ−ｂ−ｃ＝０
変形して、
ｂｃ−ｂ−ｃ＋１＝１
(ｂ−１)(ｃ−１)＝１
これを満たす（ｂ，ｃ）を探すと、（ｂ，ｃ）＝（２，２）
よって、（ａ，ｂ，ｃ）＝（２，２，２）
ａ＝４のとき、上と同様に整理、変形すると、
| (ｂ− | ４ ５ |
)(ｃ− | ４ ５ |
)＝ | １６ ２５ |
これを満たす（ｂ，ｃ）は、（１，４）
よって、（ａ，ｂ，ｃ）＝（４，１，４）
ａ＝６のとき、整理、変形すると、
| (ｂ− | ３ ４ |
)(ｃ− | ３ ４ |
)＝ | ９ １６ |
これを満たす（ｂ，ｃ）は、（１，３）
よって、（ａ，ｂ，ｃ）＝（６，１，３）
ａ＝８のとき、整理、変形すると、
| (ｂ− | ８ １１ |
)(ｃ− | ８ １１ |
)＝ | ６４ １２１ |
これを満たす（ｂ，ｃ）は、ない。
ａ＝１０，１２のときも、ない。
確かな証明はできませんが、これ以降ａの値がいくつになっても、自然数ｂ，ｃの値はないと思います。
（問題に「解を全てあげてください。」と書いてあるので、有限個しかないことは確かなのですが…）
∴ ３辺の長さが、２，２，２の立方体、１，４，４の直方体、１，３，６の直方体
◆東京都 かえる さんからの解答。
直方体の３辺をａ，ｂ，ｃ（ａ≧ｂ≧ｃ≧１を満たす整数）とおく。
問題の条件
⇔
３ａｂｃ＝２（ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ）
⇔
| １ ａ |
＋ | １ ｂ |
＋ | １ ｃ |
＝ | ３ ２ |
ａ≧ｂ≧ｃ≧１に注意して、
| ３ ｃ |
≧ | ３ ２ |
ゆえｃ＝１，２
（１）ｃ＝１のとき
| １ ａ |
＋ | １ ｂ |
＝ | １ ２ |
ａ≧ｂ≧１に注意して、
| ２ ｂ |
≧ | １ ２ |
ｂ＝１〜４のうちａが整数になるものを調べれば、
（ａ，ｂ）＝（６，３），（４，４）
（２）ｃ＝２のとき
| １ ａ |
＋ | １ ｂ |
＝ | １ |
ａ≧ｂ≧１に注意して、
| ２ ｂ |
≧１ |
ｂ＝１〜２のうちａが整数になるものを調べれば、
（ａ，ｂ）＝（２，２）
以上より、
３辺が（６，３，１），（４，４，１），（２，２，２）の直方体・・・【答】
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
直方体の3辺の長さを自然数a,b,c a≦b≦c として
6abc = 2*2(ab+bc+ca)から
3/2 = 1/a + 1/b + 1/c
3/c ≦ 3/2 ≦ 3/a から a≦2≦c
| a=1の場合 | 1 b |
+ | 1 c |
= | 1 2 |
から b=3,c=6 ,b=c=4 |
| a=2の場合 | 1 b |
+ | 1 c |
=1 | から b=c=2 |
◆千葉県の高校生 ガウチ さんからの解答。
この直方体をa×b×c（a,b,cは自然数）であるとする。
すると直方体の外側の面の数は2（ab+bc+ca)、
ばらした後のすべての面の数は6abcであるから、
4(ab+bc+ca)=6abc
両辺を4abcで割って
| 1 a |
+ | 1 b |
+ | 1 c |
= | 3 2 |
この式は対称であるから一般性を失わずにa≦b≦cとおける。
| 3 2 | = | 1 a |
+ | 1 b |
+ | 1 c |
≦ | 3 a |
より、a≦2
(1)a=2のとき
| 1 b |
+ | 1 c |
=1 |
| 1 b |
+ | 1 c |
≦ | 2 3 |
＜1 |
b=1,2をそれぞれ代入して調べるとこれを満たすのはb=2,c=2の時のみである。
(2)a=1のとき
| 1 b |
+ | 1 c |
= | 1 2 |
| 1 b |
+ | 1 c |
≦ | 2 5 |
＜ | 1 2 |
b＝1,2,3,4を代入して調べるとこれを満たすのは
b＝3,c=6のときと、b＝4,c=4のときである。
以上より求める直方体は1×3×6,1×4×4,2×2×2の三つである。
◆東京都 サボテン さんからの解答。
直方体の辺の長さをそれぞれa,b,cとし、c≦b≦aとする。
すると、立方体の全ての面の数は6abcである。
以下の場合に場合分けする。
1)a=b=c=1
この場合は立方体が一個だけで6面全て塗られてしまうので解なし
2)a＞1,b=c=1
この場合は5面塗られた立方体が2個、4面塗られた立方体がa-2個ある。
よって塗られた面の合計は4(a-2)+10=4a+2
全ての面は6abc=6aあるので、塗られた面と塗られていない面が等しくなるためには
4a+2=3a
a=-2
よってこの場合も解がない
3)a＞1,b＞1,c=1
この場合は4面塗られた立方体が4個、
3面塗られた立方体が2(a-2)+2(b-2)個、
2面塗られた立方体が(a-2)(b-2)個 である。
よって塗られた面の合計は
2(a-2)(b-2)+6(a-2)+6(b-2)+16=2ab+2(a+b)
2)と同様にこれが3abc=3abに等しければよい。
よって3ab=2ab+2(a+b) →ab=2(a+b)・・・(*)
今b≦aと仮定しているので、ab≦4a → b≦4
b＞1よりb=2,3,4のいずれかである。
b=4の時(*)より、a=4
b=3の時、a=6
b=2の時、解なし
よって(a,b,c)=(6,3,1),(4,4,1)が解である。
4)a＞1,b＞1,c＞1
この場合は3面塗られた立方体が8個、
2面塗られた立方体が4(a-2)+4(b-2)+4(c-2)個、
1面塗られた立方体が 2(a-2)(b-2)+2(a-2)(c-2)+2(b-2)(c-2)だけある。
よって塗られた面の合計は
2(a-2)(b-2)+2(a-2)(c-2)+2(b-2)(c-2)+8(a-2)+8(b-2)+8(c-2)+24=2(ab+ac+bc)
これが3abcに等しければよい。
3abc=2(ab+ac+bc)・・・(**)
c≦b≦aより、3abc≦2(ab+ab+ab)=6ab → c≦2
仮定よりc＞1なのでc=2
(**)にc=2を代入すると、ab=a+b・・・(***)
再びb≦aより、ab≦2a → b≦2
仮定より、b＞1なので、b=2
(***)にb=2を代入して、a=2を得る。
よって(a,b,c)=(2,2,2)
以上まとめて(a,b,c)=(6,3,1),(4,4,1),(2,2,2)の3つの場合が解である。
◆出題者の東京都 cube さんからのコメント。
いやぁ、皆さん正解です。
単なる、ディオファントス方程式を解くだけですね。
(2,2,2)が、解の一つになっているのが美しいと感じました。