◆東京都 サボテン さんからの解答。
【問題１】
オイラー線が通る頂点をAとする。
この時外心Oは直線AG上にある。
以下Oが辺上にある場合とそれ以外の場合で場合分けする。
1)辺上にある場合
円周角の定理より、これは直角三角形である。
2)辺上にない場合
この場合はBCの垂直二等分線とAからBCに引いた中線が一致する。
よって二等辺三角形である。
【問題２】
AGとBCの交点をPとする。
外接円の半径をRとする。
AB=c,BC=a,AC=bとする。
OG//BCより、PO=csinB/3
△OPBは直角三角形なので、三平方の定理により、
PB2+PO2=BO2
| PB= | a 2 | , BO=Rを代入。 |
| a2 4 |
+ | c2sin2B 9 |
=R2 |
| 正弦定理よりa= | csinA sinC |
,R= | c 2sinC |
を代入し |
| cos2A 4 |
- | sin2Bsin2C 9 |
=0 |
| 1 4 |
- | tanBtanC 2 | +(tanBtanC)2( | 1 4 |
- | 1 9 |
)=0 |
| x＝３， | ３ ５ |
| ここで、tanBtanC＝３ 又は | ３ ５ | となりますが、 |
| ３ ５ | を除去する理由が分かりませんでした。 |
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【問題１】
オイラー線が頂点を通る⇔外心Ｏがその頂点における中線またはその延長上にある
このとき、
[１]Ｏがその頂点の対辺上にある
[２]Ｏがその頂点の対辺上にない
の場合が考えられる。
[１]のとき
このとき、Ｏは辺の中点と一致する。
外心が辺の中点にある三角形は直角三角形であり、その辺は斜辺となる。
[２]のとき
このとき、その頂点の対辺における中線と垂直二等分線が一致する。
中線が辺を垂直に二等分する三角形は二等辺三角形であり、その辺は底辺となる。
以上より、オイラー線が三角形の頂点を通るとき、その三角形が直角三角形または二等辺三角形である。
証明終
【問題２】
〔準備１〕
△ＡＢＣの外心をＯ，垂心をＨとするとき、∠ＢＡＨ＝∠ＯＡＣである。
証明
図１のようにＡＨの延長とＢＣとの交点をＳ，頂点Ａを通る直径をＡＴとすると、
△ＡＢＳと△ＡＴＣにおいて、
∠ＡＢＳ＝∠ＡＴＣ，∠ＡＳＢ＝∠ＡＣＴより、三角形の残りの内角も等しいので、
∠ＢＡＳ＝∠ＴＡＣ、
すなわち、∠ＢＡＨ＝∠ＯＡＣ
証明終
〔準備２〕
三角形の垂心はその三角形のオイラー線上にある
証明
図２のように頂点Ｂを通る直径をＢＤとし、ＯからＢＣに下ろした垂線をＯＭとする。
円の中心から弦に下ろした垂線は、その弦を垂直に二等分することから、ＢＭ＝ＣＭ
また、ＢＯ＝ＤＯより、
△ＢＣＤにおいて中点連結定理より、２ＯＭ＝ＣＤ
ここで、ＡＨ⊥ＢＣ，ＤＣ⊥ＢＣより、ＡＨ//ＤＣ
ＣＨ⊥ＡＢ，ＤＡ⊥ＡＢより、ＣＨ//ＤＡ
よって、四角形ＡＨＣＤは平行四辺形なので、ＡＨ＝ＣＤ
故に、ＡＨ＝２ＯＭより、ＡＨ：ＯＭ＝２：１
図３のように、ＡとＭ，ＯとＨをそれぞれ結び、その交点をＧとすると、
ＡＨ⊥ＢＣ，ＯＭ⊥ＢＣより、ＡＨ//ＯＭ
従って、△ＡＨＧ∽△ＭＯＧより、
ＡＧ：ＭＧ＝ＡＨ：ＭＯ＝２：１
よって、点Ｇは△ＡＢＣの中線ＡＭを２：１に内分するので、点Ｇは△ＡＢＣの重心である。
従って、３点Ｏ，Ｇ，Ｈは同一直線上にあるので、三角形の垂心はその三角形のオイラー線上にある。
証明終
〔本題〕
図４のように、辺ＢＣの中点をＭとし、頂点Ａから対辺に下ろした垂線をＡＫとし、ＡＫの延長が再び円Ｏと交わる点を点Ｐとする。
準備１より、∠ＢＣＨ＝∠ＯＣＡ
ＯＣ＝ＯＡより、∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ
準備１より、∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＨ
円周角の定理より、∠ＢＡＨ＝∠ＢＣＰ
以上より、∠ＢＣＨ＝∠ＢＣＰ
また、ＢＫ⊥ＰＨより、三角形の内角の二等分線が対辺と直交する三角形はその対辺を底辺とする二等辺三角形なので、
ＨＫ＝ＰＫ
仮定より、ＯＨ//ＢＣなので、
ＡＨ：ＨＫ＝ＡＧ：ＧＭ＝２：１
ＨＫ＝ＰＫより、ＡＫ：ＰＫ＝（２＋１）：１＝３：１なので、
| ＡＫ ＰＫ |
＝３ |
| ところで、ｔａｎＢ＝ | ＡＫ ＢＫ |
，ｔａｎＣ＝ | ＡＫ ＣＫ |
より、 |
| ｔａｎＢ・ｔａｎＣ＝ | ＡＫ2 ＢＫ・ＣＫ |
また、方べきの定理より、ＡＫ・ＰＫ＝ＢＫ・ＣＫ
| 従って、 | ＡＫ2 ＢＫ・ＣＫ |
＝ | ＡＫ ＰＫ |
＝３ |
∴ｔａｎＢ・ｔａｎＣ＝３
証明終