◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答
線分ABの長さを2ｋ 点Cと直線ABの距離をｎとして
ｍ＝√（n2 + u2), u≧0 とすると
| ｄ＝ | 1 2k |
k ∫ -k | √（n2 + (u+x)2)dx. |
| ｄ-ｍ＝ | 1 2k |
k ∫ -k | ｛√（n2 + (u+x)2)-√（n2 + u2)｝dx = | f(k) 2k |
| d dk |
f(k) = √（n2 + (u+k)2) - √（n2 + (u-k)2) ＞ 0, f(0)=0 |
よってd-m ＞ 0
◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
線分 AB を含む直線 l に点 C から降ろした垂線の足を O とする。
l を x 軸，直線 OC を y 軸とする直交座標系を導入し，
A (a, 0)，B (b, 0), C (0, h)，かつ a＜b とする。
このとき，線分 AB 上の点 P (x, 0) に対して，
線分 CP の長さを f(x) とすると，f(x) は
f(x) ＝ √(x2 ＋ h2)で表せる。
このとき，証明すべきことは
| b ∫ a | f(x) dx ＞ (b-a) f( | a+b 2 | ) …… (*) |
と書ける。
【証明】
(1) 区間 [a, b] で常に次の式が成り立つから，f(x) は下に凸である。
| f ’(x) ＝ | x f(x) |
| f ’’(x) ＝ | h2 {f(x)}3 | ＞ 0 |
(2) 区間 [a, b] で f(x) が下に凸ならば，区間内の点における f(x) の接線は常にf(x) よりも下にある。
| 点( | a+b 2 | , 0) における接線の方程式を y＝g(x) とすると， |
| b ∫ a | f(x) dx ＞ | b ∫ a | g(x) dx |
が成り立つ。
これは (*) そのものである。（証明終）
◆出題者のコメント
お二方とも（たぶん）正解だと思います。
同じ問題を友人に見せたときも甘泉法師さんとほぼ同様の解法であったと記憶しています。
やはりこのやり方が自然ですかね。
ただ、僕が最初にこの問題をつくったときに想定した解法はほとんど計算しないやり方でした。
もう少し詳しく言うと、『視覚的にdとmの大小を比較する』って感じでしょうか。
こちらの方法についてもどなたか暇があれば考えてみてください。
結構面白いと思いますよ。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【証明】
ＡＢ上で中点Ｍから左右に等距離ｘの点Ａ'，Ｂ'を考える。
この時Ａ'とＢ'を選ぶ確率は等しいと考えるのは自然である。(＊)
ＣＢ'に平行な線分ＰＭを考える。この時三角形のＣＰＭの辺の長さの関係から
ｍ≦(ＣＢ'+ＣＡ')×0.5である。
ところで、(ＣＢ'+ＣＡ')×0.5は（＊）によりｘにおける局所的な期待値ｄ(x)に等しく、
d(x)≧ｍである。
ここで等号はx=0の時のみであるので、ＡＢの長さが０でないなら、
殆どいたるところd(x)＞ｍである。
よって、左右対称な確率密度分布であれば
ｄ＝E[d(x)]＞ｍである。
【ＰＳ】
この種の問題を出す側の課題として、確率密度を暗黙にしてよいか今後もこだわりたいと思います。
◆山梨県 Footmark さんからの解答
ＡＢの中点をＭとし、Ｍから等距離にある線分ＡＢ上の任意の２点をＰ,Ｑとする。
すると、どのような２点Ｐ,Ｑであっても、常に
| ＰＣ＋ＱＣ ２ | ＞ＭＣ(＝ｍ) ならば ｄ＞ｍ の筈である。 |
Ｐを通り直線ＭＣに平行な直線をＬ(Ｐ)、
Ｑを通り直線ＭＣに平行な直線をＬ(Ｑ)とする。
直線Ｌ(Ｐ)上でＭ→Ｃと同一方向に、ＰＰ’＝ＰＣ となる点Ｐ’を、
直線Ｌ(Ｑ)上でＭ→Ｃと同一方向に、ＱＱ’＝ＱＣ となる点Ｑ’を、
それぞれとり、直線Ｐ’Ｑ’と直線ＭＣの交点をＭ’とする。
すると、明らかに
| ＰＣ＋ＱＣ ２ | ＝ | ＰＰ’＋ＱＱ’ ２ | ＝ＭＭ’である。 |
このとき、△ＰＰ’Ｃと△ＱＱ’Ｃに着目すると、
△ＰＰ’ＣはＰＰ’＝ＰＣの二等辺三角形であり、
△ＱＱ’ＣはＱＱ’＝ＱＣの二等辺三角形である。
| それゆえ、∠ＰＰ’Ｃ＜ | π ２ | かつ ∠ＱＱ’Ｃ＜ | π ２ | なので |
すると、ＰＰ’とＱＱ’は平行ゆえ、明らかに３点Ｐ’,Ｃ,Ｑ’は１直線上になく、ＣはＭ’よりＭに近い。
つまり、ＭＭ’＞ＭＣ(＝ｍ)
| 即ち | ＰＣ＋ＱＣ ２ | ＞ＭＣ(＝ｍ) である。 |
よって、ｄ＞ｍ である。