◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【答え】
| ｎ≧２の整数のとき | ｎ*(９ｎ2−１２ｎ＋５) ２ | 個 |
| ｎ≦−２の整数のとき | (ｎ2−１)*(２−９ｎ) ２ | 個 |
ｎが整数でないとき ０個
【証明】
(1)ｎ=0，1のとき (x-1)(x-α)x=0のタイプでαは任意であり、無限個ある。
∵α0＝１、α1＝α、０n＝０
(2)ｎが２以上の正の整数のとき。
３次方程式の解をα、β、γとするとき、αnも解であるとは、
αn＝[α｜β｜γ]のことであり、３ケースある。
βγも同様であるから、解の構造は都合２７ケースが考えられる。
これらを整理すると次の８タイプになる。
尚「→」はｎ乗することを、「∩」は独立であることを表しているとする。
| ここで ω(ｐ,k)＝exp( | 2πki p | ) とする。 |
(Ay) αn-1-1=0 より α＝ω(n-1,k) k=0…n-2
(By) αn*n-n-1=0 より α＝ω((n-1)*n,k) k=0…n2-n-1
(Cy) αn*n-1-1=0 より α＝ω((n-1)*(n+1),k) k=0…n2-2
(Dy) αn*n*n-n*n-1=0 より α＝ω((n-1)*n*n,k) k=0…n3-n2-1
(Ey) αn*n*n-n-1=0 より α＝ω((n-1)*n*(n+1),k) k=0…n3-n-1
(Fy) αn*n*n-1-1=0 より α＝ω((n-1)*(n2+n+1),k) k=0…n3-2
これら解の引数ｐの値は全て(n-1)≧１の倍数である。
一方残りの因数 n,n+1, n2+n+1は正で互除法により互いに素である。
以上より(A)〜(G)の解の構造は下図に表す構造をもつ。
なお、α＝０の解はその性質から(Ay)のグループ＝（Ax）に入れる。
よって (A)の数は
(Ay)とα=0グループの数=（Ax）の数：n-1+1=n個の内から重複して３個取り出す組み合わせの数となり、
| (n+2)(n+1)n 6 | である。 |
(B)の数は下図のように
{(By)-(Ay)}→(Ay)と(Ax)→(Ax)の数の積になり
n*(n-1)2である。
(C)の数は下図のように
{(Cy)-(Ay)}→{(Cy)-(Ay)}と(Ax)→(Ax)の数の積になり
n2*(n-1)である。
ただし方程式としては同じ物が２個ずつ含まれるので
| 方程式の数は | n2*(n-1) 2 | である。 |
なお、(B)(D)とはn+1とｎが互いに素であるので重複していない。
(D)の数は下図のように
{(Dy)-(By)}→｛(By)-(Ay)｝→(Ay)の数であり
n(n-1)2である。
(E)の数は下図のように
{(Ey)-(Cy)}→{(Cy)-(Ay)}→{(Cy)-(Ay)}の数になるのだが、
(Cy)の因数のnと(Ey)の因数のn(n+1)がｎを共役数としてもつので
この重複分(n-1)2を差し引くと
(n-1)2nである。
(F)の数は下図のように
{(Fy)-(Ay)}→{(Fy)-(Ay)}の数(n-1)(n+1)nである。
ただし方程式として同じ物が3個ずつ含まれるので
| 方程式の数は | n*(n-1)(n+1) 3 | である。 |
なお、(B)(C)(D)(E)とはn+1,ｎとn2+n+1が互いに素であるので重複していない。
(G)の数は下図のように
{(By)-(Ay)}→(Ay)と同じ(Ay)の要素になる{(By)-(Ay)}の要素の数の積である。
但し異なる解は２重に数えるので異なる方程式の数は
| (n-1)2* | ( | n-2 2 | +1) | = | n*(n-1)2 2 | である。 |
(H)の数は{(Cy)-(Ay)}の数と同じであるからn*(n-1)である。
以上を合計すると
| P(ｎ)＝ | ｎ*(９ｎ2−１２ｎ＋５) ２ | である。 |
図１ 解の構造
【例 n=2 17個】
解の組を(α,β,γ)で表し Ｗｋ／ｐ＝ω(p,k)とする。
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,1,-1) (1,1,-1) (0,w1/3,w2/3) (1,w1/3,w2/3) (i,-1,1) (-i,-1,1) (w1/6,w1/3,w2/3) (w5/6,w2/3,w1/3) (w1/7,w2/7,w4/7) (w3/7,w6/7,w5/7) (-1,-1,1) (w1/3,w1/3,w2/3)(w2/3,w2/3,w1/3)(3) ｎ=-1のとき
| (1,α, | 1 α | )は条件を満たしており、α任意なので無限個ある。 |
(4)ｎが−２以下の負の整数のとき α＝０を含むものは排除される。
また,(Ay)〜(Fy)の式は ｋの範囲が変わって下記となる。
(Ay) αn-1-1=0 より α＝ω(n-1,k) k=0…n
(By) αn*n-n-1=0 より α＝ω((n-1)*n,k) k=0…n2-n-1
(Cy) αn*n-1-1=0 より α＝ω((n-1)*(n+1),k) k=0…n2−２
(Dy) αn*n*n-n*n-1=0 より α＝ω((n-1)*n*n,k) k=0…n3−n2＋1
(Ey) αn*n*n-n-1=0 より α＝ω((n-1)*n*(n+1),k) k=0…n3−n＋1
(Fy) αn*n*n-n-1-1=0 より α＝ω((n-1)*(n2+n+1),k) k=0…n3
同様に計算できて m=2-n とおくと。m≧４
| (A) | m(m-1)(m+1) 6 |
| (B) (n2-1)(1-n)=(m-3)(m-1)2 |
| (C) | (n+2)(n-1)(1-n) 2 | = | (m-4)(m-1)2 2 |
| (D) n-n3=(m-2)(m-1)(m-3) |
| (E) (n+2)(1-n2)=(m-4)(m-1)(m-3) |
| (F) | (1−n)(n＋1)n 3 | = | (m-2)(m-1)(m-3) 3 |
| (G) | (n2-1)(-n) 2 | = | (m-2)(m-1)(m-3) 2 |
| (H) (n+2)(n-1)＝(m-4)*(m-1) |
| P(n)=P(2-ｍ)= | (m-3)*(m-1)(9m-16) 2 | = | (-1-n)*(9n-2)(n-1) 2 |
因みに P(-2)=30 P(-3)=116
【例 n=-2 30個】
解の組を(α,β,γ)で表し Ｗｋ／ｐ＝ω(p,k)とする。
( 1, 1, 1) ( 1, 1,w1/3) ( 1, 1,-1) ( 1, 1,w2/3) ( 1,w1/6,w2/3) ( 1, i,-1) ( 1,w1/3,w1/3) ( 1,w1/3,-1) ( 1,w1/3,w2/3) ( 1,w1/3,w5/6) ( 1,-1,-1) ( 1,-1,w2/3) ( 1,-1,-i) ( 1,w2/3,w2/3) (w1/12,w1/3,w5/6) (w1/9,w4/9,w7/9) (w1/6,w1/6,w2/3) (w1/6,w1/3,w2/3) (w1/6,w5/12,w2/3) (w1/6,w2/3,w2/3) (w1/6,w2/3,w11/12) (w2/9,w5/9,w8/9) (w1/3,w1/3,w1/3) (w1/3,w1/3,w2/3) (w1/3,w1/3,w5/6) (w1/3,w7/12,w5/6) (w1/3,w2/3,w2/3) (w1/3,w2/3,w5/6) (w1/3,w5/6,w5/6) (w2/3,w2/3,w2/3)
| (5)ｎ＝ | ｐ ｑ | ：有理数のとき αnはｑ個の値をもつ。 |
【感想】
問題文の長さに比べて内容が豊かであり、一方適度な難易度で良い問題だと思いました。