◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
与えられた正三角形をＡＢＣとし、ＡＢ、ＡＣ上に中心を持つ円の中心をそれぞれＤ、Ｅとし、点Ｅを中心とする円とＡＢとの接点をＦとします。
△ＤＥＦにおいて、
ＥＦ：ＥＤ＝１：２
∠ＤＦＥ＝９０°
より、∠ＦＤＥ＝３０°
よって、△ＤＡＥも３０°、６０°、９０°の直角三角形になり、
ＡＥ：ＡＤ＝１：２
図の対称性より、ＡＥ＝ＢＤより、
ＢＤ：ＡＤ＝１：２ ・・・(1)
となり、点ＤはＡＢを２：１に内分する点となります。
このとき、３つの大きい円の半径（＝ＥＦ）は、
| ＥＦ＝ＡＥ× |  ２ | ＝ | ａ ６ | ・・・(2) |
一方、半径を求める円の中心は△ＡＢＣの重心Ｇに一致し、(1) より、
ＤＧ//ＢＣ
| となり、△ＡＤＨは△ＡＢＣの | ２ ３ | 倍の正三角形になります。よって、 |
| ＤＧ＝ | ａ ３ |
求める半径は、
| ＤＧ−ＥＦ＝ | ａ ３ | − | ａ ６ | ＝ | ａ(２−) ６ | ・・・答え |
【問題２】
与えられた正三角形をＡＢＣとします。
中央の大きい円の面積をＳ0、以下、図のようにＳ1、Ｓ2・・・とすると、
求める面積Ｓは、
Ｓ＝Ｓ0＋３(Ｓ1＋Ｓ2＋・・・)
となります。
| 中央の大きい円の半径は | ａ ６ | です。よって、 |
| Ｓ0＝ | πａ2 １２ |
一方、図のようにこの円に接する正六角形ＤＥＦＧＨＩを描くことができ、
| △ＡＤＥは△ＡＢＣの | １ ３ | 倍の正三角形であり、 |
| Ｓ1 は Ｓ0 の | １ ９ | 倍の面積となります。 |
| 同様に Ｓ2 は Ｓ1 の | １ ９ | 倍の面積です。 |
| 一般にｎ≧１に対し Ｓn＝ | Ｓ0 ９n | となります。 |
よって、求める面積ＳをＳ0で表すと、
| Ｓ＝S0＋３Ｓ0 | ( | １ ９ | ＋ | １ ８１ | ＋・・・) |
| ＝Ｓ0 | (１＋３ | ∞ Σ n=1 |
１ ９n | ) |
となります。
| ∞ Σ n=1 |
１ ９n | ＝ | １ ８ | より、 |
| Ｓ＝ | １１Ｓ0 ８ | ＝ | １１πａ2 ９６ | ・・・答え |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２】
次のような方法もあります。
正三角形内部は下図黄色の台形およびその相似形で埋め尽くされていると考えられます。
小さい方の円の半径を仮に１とすると。
台形面積＝４
| 台形内円面積＝ | π ３ | ＋ | ９π ６ | ＝ | １１π ６ |
| また、正三角形面積＝ | ａ2 ４ | より |
| 円面積合計＝ | 台形内円面積 台形面積 | ＊正三角形面積＝ | １１πａ2 ９６ |
◆出題者のコメント。
早々に解答ありがとうございます。
【問題１】,【問題２】とも正解です。
いずれも簡潔で解り易い解法だと思います。
【問題２】で、求める面積をすべて相似形に分割してしまう Y.M.Ojisan さんの解法は面白いですね。
全然、気付きませんでした。