◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
【問題１】
１回の反射で返ってくるためには打ちだした点から進行方向に垂直な面に当たるしかない。
よって、軌道は円の直径部分を往復。
【問題２】
２回の反射で返ってくるとき軌道は円に内接する三角形を描くしかない。
また、ある一点から打ち出された球が跳ね返ったとき、その軌道が作り出す角をθとすれば必ずその後の反射はみなその角度で反射することになる。
（∵連続した反射点と円の中心を結ぶと二等辺三角形が出来る）
よって、１回目の反射、２回目の反射の角度は等しく、それが打ち出された点に来たときの角度も等しい。
よって、軌道は円に内接する正三角形であり、戻ってきた後も再び同じ軌道をたどる。
【問題３】
問題２と同様に考えると、軌道は円に内接する正方形であり、戻ってきた後も再び同じ軌道をたどる。
【問題４】
問題２と同様に考えると、４回の反射で返ってくるとき軌道は円に内接する正五角形もしくは正☆型であり、戻ってきたあとも同じ軌道をたどる。
【ちょっと感想】
問題４はこの２通り以外は考えられないと思うんですが、戻ってきた後の軌道が違うことってあるんでしょうか？
いかなる角度で打ち出したにせよ、僕が問題２で示した「常に反射する角度は同じであること」、を考えればあり得ないとは思うんですが・・・・・・。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
出発点から、円卓の中心に向かって玉をうてば、「ちょうど正反対の位置」に当たって、もとの出発点にかえってくる。
軌道は「出発点と円卓の中心を結ぶ線上を、円卓内で往復する」もの。
【問題２】
下図の、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａという軌道になる。
（Ａは出発点、Ｏは円卓の中心）
このとき、ＯＢ＝ＯＣだから∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ
また、問題の条件より
∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ、∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ
つまり
∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＡ＝∠ＯＣＢ(＝ｋとする)
これより、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＡ＝２ｋ
したがって、△ＡＢＣは正三角形。
つまり、軌道は「頂点の一つが出発点となるように円に内接する正三角形を設定すると、その正三角形の三辺が軌道となる」。
また、∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＢであるから、戻った後やはり同じ軌道をたどってゆくことになる。
【問題３】
問題２と同様に考えれば、
「頂点の一つが出発点となるように、円に内接する正方形を設定すると、その正方形の四辺が軌道となる」。
戻ってきたあとはやはり同じ軌道をたどってゆく。
【問題４】
やはり同じ考え方をすれば
「頂点の一つが出発点となるように、円に内接する正五角形を設定すると、その正五角形の五辺が軌道となる」。
戻ってきたあとはやはり同じ軌道をたどってゆく。
以上、解答終わり。
・・・と思ったら、よく考えると下図みたいなパターンもありますね。
軌道はＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ａです。
（Ａは出発点、Ｏは円卓の中心）
ここで、△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＤ、△ＯＤＥ、△ＯＥＡはすべて合同な二等辺三角形だから
（底角がすべて等しいので頂角もやはり等しく、また頂角をはさむ二辺の長さはどれも半径に等しいから）、
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝∠ＤＯＥ＝∠ＥＯＡ
したがって、
∠ＡＯＤ（＝３６０°−∠ＤＯＥ−∠ＥＯＡ）
＝∠ＤＯＢ（＝３６０°−∠ＢＯＣ−∠ＣＯＤ）
＝∠ＢＯＥ（＝３６０°−∠ＥＯＡ−∠ＡＯＢ）
＝∠ＥＯＣ（＝３６０°−∠ＣＯＤ−∠ＤＯＥ）
＝∠ＣＯＡ（＝３６０°−∠ＡＯＢ−∠ＢＯＣ）
つまり、五角形ＡＤＢＥＣは正五角形になり、またこの軌道はこの正五角形の五本の対角線となる。
だから「頂点の一つが出発点となるように、円に内接する正五角形を設定すると、その正五角形の五本の対角線が軌道となる」 ・・・といったところでしょうか。
鏡面を円形に組んで、そこに直線状の光線を当ててやるという実験をしてみれば、おおよその推測はできますよね。
夏休みの自由研究テーマにつかえるかもしれません。