◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１−１】
考えやすくするために、仮に終業時間を午後５時とする。
旦那さんが歩いた分早く帰宅することが出来るが、往復で３０分早くなっているので、片道では、１５分短縮したことになる。
すなわち迎えに行った奥さんは午後４時４５分に旦那さんに出会ったことになる。
旦那さんは５時から４０分前すなわち４時２０分から歩きはじめて４時４５分に出会っているので、２５分間歩いたことになる。
「もうひとつの算数にチャレンジ」に以前類題が出題されたことがあります。
代数で解こうとするとかなり厄介ですね。
まさに算数という感じです。
【問題１−２】
同じように仮に終業時間を午後５時とする。
現実を無視して奥さんは休むこともなく寝ることもせず２４時間運転する。
片道１２時間かけて迎えに行って、終業時間の午後５時に会社に着く。
１２時間かかって翌朝の午前５時に帰宅して、またすぐに迎えのために家を出るという毎日。
このとき４０分前に仕事を終えた旦那さんは、（現実を無視して）テレポーテイションで帰宅出来たとする。
午後４時２０分に帰宅したとすれば、いつもの帰宅時間である翌朝の午前５時より、１２時間４０分早く帰宅出来たことになる。
非現実的ではあるが、１２時間４０分が限界となる。
旦那さんはテレポーテイションで出社するのでしょうね。
なんのために奥さんは不眠不休で迎えに行くのでしょうか？？？？。
【問題２】
問題１−１のようにスマートな算数的解法がヒラメキません。
自宅からいつも出会う地点までの距離を Ｘ(km)とする。
いつも出会う地点から教会までの距離を Ｚ(km)とする。
自宅から教会までの距離を Ｙ(km)とする。
旦那さんの走る速さを Ｍ(km/h)とする。
奥さんのいつもの走る速さを Ｆ(km/h)とする。
プラスアルファ分の走る速さを α(km/h)とする。
| X+Y+Z F | = | X+Z F | + | Y ― F | = | 2 ― 3 | + | 7 12 | * | M F | = | 2 ― 3 | + | 7 12 | * | 2 | = | 11 6 | （時間） |
M/Fの求め方がヒラメキません。
そこでコツコツ計算しました。
| α= | F+M 7 | ， | M ― F | =2 | (M:F=2:1) |
答え １時間５０分
◆出題者の山梨県 Footmark さんからのコメント。
【問題１−１】
代数を知らない小学生にも容易に理解できる鮮やかな解答ですね。
正解です！
おっしゃる通り、まさに算数です。
【問題１−２】
問題の前提により、必ず迎えに来る途中の奧さんの車に乗って帰宅します。
仮に、とんでもなく長距離を光速で歩き、自宅から１ｍしか進んでない奥さんの車に乗り帰宅したとします。
テレポーテイションなら０秒でしょうが、会社が終了してから１秒後には帰宅したとしても、本当にその時の帰宅時刻が、いつもの帰宅時刻より１２時間３９分５９秒も早くなるんでしょうか？
これを解くと面白い事実が発見できます。
【ヒント】
旦那さんに途中で出会った車は、もし出会っていなければ、その後いつもならどうしたのでしょう？
【問題２】
Ｍ／Ｆが違っているような気がしますが・・！？
【ヒント】
ある時間を未知数として式を立てれば、至って簡明な式になります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１−２】
問題の前提を無視して、勝手な解釈をして申し訳ありません。
「問題の前提により、必ず迎えに来る途中の奧さんの車に乗って帰宅する。」
という条件があれば、
午後５時を終業時間としたとき、仮に４０分短縮出来るとすると、午後４時４０分に、旦那さんに出会うことになる。
そうなると旦那さんは４時２０分に仕事を終えて、２０分間車まで歩いたことになる。
旦那さんの歩く速さと車の速さは同じということになる。
旦那さんを車に乗せて２０分後の５時に帰宅することになる。
いつもは５時４０分に帰宅している。
なぜなら奥さんは午後４時２０分に車で自宅を、旦那さんは同じ時刻にしかも車と同じ速さで歩いて会社を出る。
丁度、中間点で４時４０分に出会う。
車に乗せて２０分後の５時に帰宅する。
したがって、仮定の４０分短縮は可能である。
旦那さんは午後４時２０分に超高速で自宅の前まで帰って、４時２０分に迎えに出た奥さんの車に乗って帰宅。
４時２０分１秒。７９分５９秒。
４０分の２倍の短縮に限りなく近づく。
【問題２】
間違えていました。
ヒントに従って方程式を作ればスッキリしましが、Ｎについての２次方程式を解くことになりました。
算数でも解けるのでしょうか？
旦那さんが１周するのに要する時間をＮ（時間）とすると、
Ｎ＝１、Ｆ＝７α
| Ｍ＝ | ５６ ５ | α |
Ｍ：Ｆ＝８：５
したがって、奥さんが１周するのに要する時間は１時間３６分。
答え １時間３６分
◆出題者のFootmark さんからの解答。
【問題１−１】
帰宅時刻が早くなったのは、明らかに２人が出会った所から会社までの車での往復時間が省略できたためです。
当然、その道のりの片道に要する時間は、省略された時間３０分の半分の１５分になります。
また、車はいつもの終業時刻には会社に到着する予定でしたので、２人が出会った時刻はいつもの終業時刻の１５分前の筈です。
結局、旦那さんはいつもの終業時刻の４０分前から１５分前までの２５分間歩いたことになります。
【答え】 ２５分
【問題１−２】
旦那さんは、歩き始めた時刻(会社が終わった時刻)以前に奥さんの車に出会うことはあり得ませんし、そのまま会社で待っていても必ずいつもの終業時刻には奥さんの車に出会える筈です。
それに、どのような移動もいかに僅かにしても時間はかかりますから
いつもの終業時刻 ＞ ２人が出会った時刻 ＞ 会社が終わった時刻２人が出会った所から会社までの車での移動時間をｍ分と仮定すると、２人が出会った時刻はいつもの終業時刻のｍ分前の筈です。
また、
会社が終わった時刻＝いつもの終業時刻ー会社が早く終わった時間(４０分)です。
∴いつもの終業時刻 ＞ いつもの終業時刻−ｍ分 ＞ いつもの終業時刻−会社が早く終わった時間(４０分)∴０ ＜ ｍ ＜ 会社が早く終わった時間(４０)
帰宅時刻がいつもより早くなる時間は、２人が出会った所から会社までの車での往復時間(２ｍ)ですから
０ ＜ ２ｍ ＜ 会社が早く終わった時間の２倍(８０)
∴ ０分 ＜ 帰宅時刻がいつもより早くなる時間 ＜ 会社が早く終わった時間の２倍(８０分)【答え】
[自宅と会社の距離],[歩く速さ],[車の一定の速さ]が、０より大きいどんな値になろうとも、帰宅時刻がいつもより早くなる時間は、会社が早く終わった時間の２倍(８０分)以上になることはありません。
【問題２】
自宅を出発してから３５分後には、旦那さんも奥さんも教会の前にいます。
（ただし、旦那さんは青コース、奧さんは赤コース）
今回、奥さんがコース１巡を終了した時、いつもより少なかった時間を ｍ分
(ｍ＞５) とすると
| 今回奥さんはコースの | ５ ｍ | の距離を走るのに、 |
| 旦那さんはコースの | ｍ−５ ｍ | の距離を走るのに、 |
それ故
| 奥さんの今回のコース１巡の時間 ＝ ３５× | ｍ ５ |
| 旦那さんのコース１巡の時間＝ ３５× | ｍ ｍ−５ |
また、同時に出発した２人ですが、自宅には旦那さんの方が２４分先に到着したのですから
| ３５× | ｍ ５ | −３５× | ｍ ｍ−５ | ＝ ２４ |
７ｍ2 − ９４ｍ ＋ １２０ ＝ ０
(ｍ−１２)(７ｍ−１０) ＝ ０
| ∴ ｍ ＝ １２ , | １０ ７ |
ところが、
| １０ ７ | は | １０ ７ | ＞ ５ を満たさないため解ではありません。 |
∴ ｍ ＝ １２
それ故、奥さんにとって
いつものコース１巡の時間
＝ 今回のコース１巡の時間 ＋ いつもより少なかった時間
| ＝ ３５× | ｍ ５ | ＋ ｍ |
【答え】 ９６分（１時間３６分）
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１−１】
奥さんの往復走行時間が30分短かった・・・ということになるのですね。
ということは片道で15分の短縮。
つまりＡとＣの間が15分です。
で、旦那さんが歩いたのはＢとＣの間ですから、４０−１５＝２５で
徒歩時間は２５分ということになります。
【問題１−２】
上の図で考えてみましょう。
ＥとＦの差だけが今回は不明、ということになります。
Ｃ・Ｆ以外の点はすべて固定です。
ＤＦ＝ＤＣ×２ですから、Ｃが決まればＦも自動的に決まります。
だから、ポイントは、Ｃがどこに来るか・・・ということになると思います。
ＣがＢより前に来ることはない・・・ですよね。
というわけで、ＣとＢが一致した場合が一番早くなる。
このとき、片道40分の短縮だから、帰宅時刻は80分早くなります。
これ以上は早くなりません。
よって早くなる時間は「80分以下」。
・・・と思ったら、ＣがＢと一致するということは
「旦那の終業時刻と奥さんの会社到着が同時」って意味ですよね。
奥さんの走行速度はいつもと一緒だから、これはつまり「ＡとＢが一致」ということになってしまいます。
これはありえないですね。
ということは、ＣはつねにＢの後。
だから「８０分早くなる」ことはありません。
ただしＢ・Ｃの間隔を限りなくゼロに近づけていくと、早くなる時間も限りなく80分には近づいていきます。
以上より、「早くできる時間の幅は80分未満」。
【問題２】
旦那さんの速度をＨ、奥さんの普段の速度をＷ（ともに分速）とすると、 教会到着時刻から奥さんの今日の速度は(40/35)Ｗ すなわち(8/7)Ｗです。
一周分の距離は、教会到着時点で奥さんが走った距離（４０Ｗ）と
旦那さんが走った距離（３５Ｈ）を足した
35H＋40Wです。
今日の旦那さんが一周にかかった時間は
| 35H＋40W H | = | 40W H | ＋35 |
同じく奥さんは
| (35H＋40W)/( | 8 7 | W)= | 245H 8W | ＋35 |
| だから | 245H 8W | ＋35=( | 40W H |
＋35)＋59 |
全体に8HWをかけた上で整理すると
320W2 + 192WH - 245H2= 0
何とか因数分解して(8W-5H)(40W+49H)=0
ここでＨ＞０、Ｗ＞０なのは明らかですから
| Ｗ= | 5 8 |
Ｈ |
| というわけで、ふだんの奥さんの速度は | 5 8 |
Ｈ |
| 今日の奥さんの速度はこれに | 8 7 |
をかけた | 5 7 |
Ｈ |
ここから、普段の奥さんが一周にかかる時間は
| 60H÷ | 5 8 |
Ｈ＝96（分）です。 |
| ちなみに、今日は60H÷ | 5 7 |
Ｈ＝84（分）。 |
※因数分解が大変でした。
二次方程式の解の公式なんてのを数年ぶりに記憶の底からひっぱりだしてきました（笑）
◆出題者のコメント。
鳳 奥人 さんへのコメントです。
解答ありがとうございます。
全問ともみごと正解です。
【問題１】の図はとても分り易いため説得力がありますね。