◆神奈川県 せいちゃん さんからの解答。
【問題１】
不可能
０から９より、１２月でないと１０桁にならないので月は１２。
よって、６以上が４つもあるのでむり。
【コメント】
ご指摘の通り、問題１は不可能です。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
答え：できない
各位に現れる数字は以下の通りです。
月の十位：１ 月の一位：０〜９
日の十位：０〜３ 日の一位：０〜９
時の十位：０〜２ 時の一位：０〜９
分の十位：０〜５ 分の一位：０〜９
秒の十位：０〜５ 秒の一位：０〜９
月が２桁になっているので、月の一位は、０か２です。
また、時の十位も、０か２で、この２つで０と２を使用します。
そうすると、日の十位は３に確定しますが、そのためには、日の一位が０か１でなければなりません。
ところが、０も１も既に使用されているので、０から９を１つずつ使ってできる時刻はありません。
【問題２】
各位に現れる数字は以下の通りです。
月の十位：なし 月の一位：１〜９
日の十位：１〜３ 日の一位：１〜９
時の十位：１〜２ 時の一位：１〜９
分の十位：１〜５ 分の一位：１〜９
秒の十位：１〜５ 秒の一位：１〜９
日の十位、時の十位以外が１だとすると、時の十位：２、日の十位：３となります。
そうすると、日の一位が１ということになります。
一方、時は２３時までしかないので、時の一位も、１か２か３になり、いずれも使用済みです。
よって、日の十位、時の十位のどちらかが１になります。
＜日の十位が１の場合＞
日の十位：１、時の十位：２、時の一位：３ が確定します。
このとき、分の十位、秒の十位のどちらかが４で、他方が５です。
月の一位、日の一位、分の一位、秒の一位には６，７，８，９が任意に入ります。
よって、組み合わせは２！×４！＝４８ 通り。
＜時の十位が１の場合＞
日の十位：２、時の十位：１ が確定します。
（日の十位が３だと日の一位が１となり不適）
分の十位と秒の十位とで３，４，５のうち２つを使います。
ここで使わなかった１つの数と６，７，８，９の５つが
月の一位、日の一位、時の一位、分の一位、秒の一位に任意に入ります。
（月に２が入ることはないので、２９日までＯＫです）
よって組み合わせは
3Ｐ2×５！＝７２０ 通り。
４８＋７２０＝７６８
答え ７６８秒 閏年も関係ありません
【コメント】
わざわざ、閏年と平年を両方尋ねたところが我ながら嫌らしい問題でした。
デジタル時計については他にも面白い問題がありそうですね。
投稿を期待しています。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
１０桁になるためには１０月と１２月でなければならない。
例えば、
１０月２９日までは決まるが、０，１，２が使用済みなので何時以降が重複する。
１２月３０日まではきまるが、０，１，２が使用済みなので何時以降が重複する。
答え ０秒。
【問題２】
１月 ０秒
２月 ０秒（平年も閏年も）
３月 ４８秒
４月 ４８秒
５月 ４８秒
６月 １５６秒
７月 １５６秒
８月 １５６秒
９月 １５６秒
４８×３＋１５６×４＝７６８。
答え 平年も閏年も同じく７６８秒。
コンピュータをアシスタントにしました。
◆大阪府 ゆうっこ さんからの解答。
【問題１】
１０桁になるのだから１０月か１２月。
１０月の場合、日の十の位が２と決まってしまうがそれでは時の十の位の数字がなくなる。
１２月の場合、日の十の位が３と決まってしまうがそれでは日の一の位の数字がなくなる。
よって、できない。
【問題２】
まず確定するのは日の十の位と時の十の位で、どちらかが２でどちらかが１となる。
（日の十の位は３も考えられるがその場合日の一の位は１と決まり、そうなると時の十の位が２となって、時の一の位の数字がなくなる）
【１】
日の十の位が１、時の十の位が２の場合
時の一の位は３に決まる。
分の十の位と秒の十の位には４か５しか入らない、これで２通り。
残りの場所には６，７，８，９が入り、どれがどこに入っても成立するので
４！＝２４通り。
よってこの場合は １×２×２４＝４８秒ある。
【２】
日の十の位が２、時の十の位が１の場合
分の十の位と秒の十の位には３，４，５しか入らない、
3Ｐ2＝６通り。
残りの場所には３，４，５のうち一つと６，７，８，９が入り、どれがどこに入っても成立するので
５！＝１２０通り。
よってこの場合は
１×６×１２０＝７２０秒ある。
以上より、４８＋７２０＝７６８秒となる。
閏年については月の数字は２にはならないので関係なし。