『団子三兄弟』解答

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

【問題１】

M(n,1)=M(n,n-1)=M(n,n)=1,

M(n,2)=[

n 2

]

　↓

M(9,1)+M(9,2)=1+4=5

　M(9,3)
=M(8,2)+M(6,3)
=M(8,2)+M(5,2)+M(3,3)
=4+2+1
=7

分け方＝５＋７＝１２

【問題２】

●n=3k

　M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(5,2)+M(3,3)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

5 2

]+1

●n=3k+1

　M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(6,2)+M(4,3)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

6 2

]+1

●n=3k+2

　M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(7,2)+M(4,2)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

4 2

]

◆出題者のコメント。

解答ありがとうございます。
問題２の「一本」でというのはｎの値で場合分けしないでという意味です。
また、ガウス記号は　多くとも２個で表記可能です。
C++で書けばIF文なしの一行で　整数割り算記号（％）２個と加減乗算で表記できます。

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

【問題２】

N(n)=M(n,1)+M(n,2)+M(n,3)

●n=3k:

M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(5,2)+M(3,3)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

5 2

]+1

k=2m

N(n)

=1+3m+(3m-1)+(3m-4)+...+2+(3m-2)+(3m-5)+...+4+1

=1+3m+

+

m(3m+1) 2

+

m(3m-1) 2

=3m2+3m+1

=	n2+6n+12 12

k=2m+1

N(n)

=1+(3m+1)+(3m+1)+3m2

=3(m+1)2

=	n2+6n+9 12

●n=3k+1:

M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(6,2)+M(4,3)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

6 2

]+1

k=2m

N(n)

=1+3m+3m+(3m-3)+...+3+(3m-2)+(3m-5)+...+1

=1+3m+

3(m+1)m 2

+

(3m-1)m 2

=(m+1)(3m+1)

=	n2+6n+5 12

k=2m+1

N(n)

=1+(3m+2)+(3m+1)+m(3m+1)

=(m+1)(3m+4)

=	n2+6n+8 12

●n=3k+2:

M(n,3)

=M(n-1,2)+M(n-4,2)+...+M(7,2)+M(4,2)

=[

n-1 2

]+[

n-4 2

]+...+[

4 2

]

k=2m

N(n)

=1+(3m+1)+3m+(3m-3)+...+3+(3m-1)+(3m-4)+...+2

=1+(3m+1)+

(3m+3)m 2

+

(3m+1)m 2

=(3m+2)(m+1)

=	n2+6n+8 12

k=2m+1

N(n)

=1+(3m+2)+(3m+2)+3m2+2m

=3m2+8m+5

=(3m+5)(m+1)

=	n2+6n+5 12

N(n)=[

n2+6n+12 12

]

◆出題者のコメント。

ガウス記号は１個でよかったのですね。
気が付きませんでした。
団子４兄弟もガウス記号２個で表す方法を見つけていますが、１個の答えがあるかも知れないので問題を追加しました。

◆千葉県　小杉　崇夫 さんからの解答。

【問題１】

９のわけ方である。

（兄、次男、三男）＝
（９，０，０）、（８，１，０）、（７，２，０）、
（７，１，１）、（６，３，０）、（６，２，１）、
（５，４，０）、（５，３，１）、（５，２，２）、
（４，４，１）、（４，３，２）、（３，３，３）の全部で１２通り

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

【問題３】

M[n,3]=[

n2+3 12

]

M(n,4)=M(n-1,3)+M(n-4,4)=[

(n-1)2+3 12

]+M(n-4,4)

P(n)=M(n,1)+M(n,2)+M(n,3)+M(n,4)

●n=4k:

M(n,4)=[

(4k-1)2+3 12

]+[

(4k-5)2+3 12

]+...+[

72+3 12

]+1

k=3m:

M(n,4)
=(12m2-2m)+(12(m-1)2-2(m-1))+...+10+(12m2-10m+2)+(12(m-1)2-10(m-1)+2)+...+4+(12m2-18m+7)+(12(m-1)2-18(m-1)+7)+...+1　
=6m(m+1)(2m+1)-15m(m+1)+9m
=12m3+3m2
=(n+3)n2/144

k=3m+1:

M(n,4)
=12m3+3m2+12(m+1)2-18(m+1)+7
=12m3+15m2+6m+1
=((n-4)3+15(n-4)2+72(n-4)+144)/144
=(n3+3n2+32)/144

k=3m+2:

M(n,4)
=12m3+15m2+6m+1+(12(m+1)2-10(m+1)+2)
=12m3+27m2+20m+5
=((n-8)3+27(n-8)2+240(n-8)+720)/144
=(n3+3n2+16)/144

●n=4k+1:

M(n,4)=[

(4k)2+3 12

]+[

(4k-4)2+3 12

]+...+[

82+3 12

]+1

k=3m:

M(n,4)
=(12m2)+(12(m-1)2)+...+12+(12m2-8m+1)+(12(m-1)2-8(m-1)+1)+...+5+(12m2-16m+5)+(12(m-1)2-16(m-1)+5)+...+1　
=6m(m+1)(2m+1)-12m(m+1)+6m
=12m3+6m2
=(n+5)(n-1)2/144

k=3m+1:

M(n,4)
=12m3+6m2+12(m+1)2-16(m+1)+5
=12m3+18m2+8m+1
=((n-5)3+18(n-5)2+96(n-5)+144)/144
=(n3+3n2-9n-11)/144

k=3m+2:

M(n,4)
=12m3+18m2+8m+1+(12(m+1)2-8(m+1)+1)=12m3+30m2+24m+6　
=((n-9)3+30(n-9)2+288(n-9)+864)/144
=(n3+3n2-9n-27)/144

●n=4k+2:

M(n,4)=[

(4k+1)2+3 12

]+[

(4k-3)2+3 12

]+...+[

92+3 12

]+2

k=3m:

M(n,4)
=(12m2+2m)+(12(m-1)2+2(m-1))+...+12+(12m2-6m+1)+(12(m-1)2-6(m-1)+1)+...+7+(12m2-14m+4)+(12(m-1)2-14(m-1)+4)+...+2　
=6m(m+1)(2m+1)-9m(m+1)+5m
=12m3+9m2+2m
=((n-2)3+9(n-2)2+24(n-2))/144=(n-2)(n2+5n+10)/144

k=3m+1:

M(n,4)
=12m3+9m2+2m+12(m+1)2-14(m+1)+4
=12m3+21m2+12m+2
=((n-6)3+21(n-6)2+144(n-6)+288)/144
=(n3+3n2-36)/144

k=3m+2:

M(n,4)
=12m3+21m2+12m+2+(12(m+1)2-6(m+1)+1)
=12m3+33m2+30m+9
=((n-10)3+33(n-10)2+360(n-10)+1296)/144
=(n3+3n2-4)/144

●n=4k+3:

M(n,4)=[

(4k+2)2+3 12

]+[

(4k-2)2+3 12

]+...+[

102+3 12

]+3

k=3m:

M(n,4)
=(12m2+4m)+(12(m-1)2+4(m-1))+...+16+(12m2-4m)+(12(m-1)2-4(m-1))+...+8+(12m2-12m+3)+(12(m-1)2-12(m-1)+3)+...+3　
=6m(m+1)(2m+1)-6m(m+1)+3m
=12m3+12m2+3m
=((n-3)3+12(n-3)2+36(n-3))/144
=(n-3)(n+3)2/144

k=3m+1:

M(n,4)
=12m3+12m2+3m+12(m+1)2-12(m+1)+3
=12m3+24m2+15m+3
=((n-7)3+24(n-7)2+180(n-7)+432)/144
=(n3+3n2-9n+5)/144

k=3m+2:

M(n,4)
=12m3+24m2+15m+3+(12(m+1)2-4(m+1))
=12m3+36m2+35m+11
=((n-11)3+36(n-11)2+420(n-11)+1584)/144
=(n3+3n2-9n-11)/144

P(n)

=[

n3+15n2+(67.5+(-1)n 4.5)n+144 144

]

すべての解答は解答用紙に書きながら、暗算しました。疲れました。
団子５兄弟以上の場合、複素数使わない限り、２個以上のガウス記号が必要と予想します。

◆出題者のコメント。

私の答えは

1+[

N*( N*N+6N+72+18[N/2] ) 144

]

で、基本的には同じでした。

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