◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【問題３】
図１のように、ＡＰ'＝ａとおく。
任意の円に円外の点から引いた２本の接線の長さは等しいことから、
ＡＰ'＝ＡＱ'＝ａ
ＰＰ'//ＢＣから、
| ＢＰ'＝ | ＨＰ ＡＰ | ・ａ＝ | １３５ａ ６５ | ＝ | ２７ａ １３ |
| 同様に、ＣＱ'＝ | ＨＱ ＡＱ | ・ａ＝ | ９６ａ １０４ | ＝ | １２ａ １３ |
| ＢＲ＝ＢＰ'＝ | ２７ａ １３ | ，ＣＲ＝ＣＱ'＝ | １２ａ １３ |
| よって、ＡＢ＝ | ４０ａ １３ | ，ＢＣ＝３ａ，ＣＡ＝ | ２５ａ １３ | より、 |
図２のようにＣＨ＝ｘとおくと、
△ＡＢＨと△ＡＣＨにおいて三平方の定理より、
ＡＢ2−ＢＨ2＝ＣＡ2−ＣＨ2
（４０ｋ)2−(３９ｋ−ｘ)2＝(２５ｋ)2−ｘ2
これをｘについて解いて、ｘ＝７ｋ
よって△ＡＣＨにおいて再び三平方の定理より、
ＡＨ2＋ＣＨ2＝ＣＡ2
２００2＋ｘ2＝(２５ｋ)2
２００2＋(７ｋ)2＝(２５ｋ)2
| これをｋ＞０の範囲で解いて、ｋ＝ | ２５ ３ |
| ＡＢ＝ | １０００ ３ | ，ＢＣ＝ | ３２５，ＣＡ＝ | ６２５ ３ |
内接円の半径をｒとすると、
| △ＯＡＢ＝ | ５００ｒ ３ | ，△ＯＢＣ＝ | ３２５ｒ ２ | ，△ＯＣＡ＝ | ６２５ｒ ６ |
| ３２５００＝ | ５００ｒ ３ | ＋ | ３２５ｒ ２ | ＋ | ６２５ｒ ６ | ＝ | １３００ｒ ３ |
◆出題者のコメント
もやしさん、問３の回答を頂き有難うございました。
大変きれいな図と、分かりやすい回答で、お見事でした。
おっしゃるとおり、みなさん「受験生時代を思い出す」ためか、残りの問題への答は未着ですが、もやしさんの図の１を縦の高さ方向に2分の1に圧縮すると、内接円は、長径が円の半径のままで、短径が半径の2分の1の楕円に変化します。
これが他の問題のヒントのようなものです。
楕円の方程式を使おうとすると、却って混乱するようです。
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【問題１】
| 図１のように△ABCを高さ方向に | ｆ ｄ | 倍した三角形を△A'BCとすると、 |
図１
△ABCに内接していた楕円は△A'BCの内接円になり、
| その半径は | ｆ ２ | となる。 |
| １７×２４÷２＝（２６＋１７＋２５）÷２× | ｆ ２ |
| ＡＨ＝ | ８ｆ ｄ | ＝２４から、ｄ＝ | ｆ ３ |
◆出題者のコメント
もやしさん、引き続き問１への解答有り難うございました。
最終コーナーまで順調でしたが、最後に小さなミスが出ました。
Ａ'Ｂ2＝２６2−１０2 のA’Bは、A’Hですね。
したがって、A'H=24。
次の（26+17+25）÷２×f/2は、f/2でなくfの勘違い。
よって、f=6、d=2が正解です。
この問題は、最初の三平方の式を
b*b-7*7=c*c-10*10 (bとcが逆ですね。)でなく、
A'R=x、b=x+8、c=x+9 にして式を解き、ｘ＝17を求めた方が簡単です。
この方が一般解を導き易く、少なくともｄは、
d=(BC*AH)/2(BC+X)=(17*8)/2(17+17)=2 で直ぐ求まります。
（式の意味は少し考えると分ると思います。）
もやしさんの図はきれいですね。
どうしたら書けるのか、勉強しようと思います。