『2ⁿの十進数表示』解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【証明】

もしその和が無限大にならない場合があるなら、それは殆どの桁が０であるような１０進表示になるはずです。
そこで０がいくつ連続できるかを考えます。

D(n):２^ｎの十進表示とします。
D(n)のＱ桁を先頭とする０の列を考えます。
なおＱ＋１桁は０ではないとします。

２^ｎは５を因数に持ちませんから１桁目は常に０ではありあません。

一方１０＝２*５ですから、２^ｎ／２^ｍを考えるとき、
Ｑ＋１桁の数が１桁目までおりてくるのは
早くてもｍ＝Ｑのときです。

従って、Ｑ桁目以下の数値は２^Ｑ以上でなければなりません。
すなわちＱ桁を先頭とする０の列は[Q*log₁₀2]+1桁で終わります。

次の可能性である　Ｐ＝[Q*log₁₀2]から始まる０の列も
同様に[P*log₁₀2]+1桁で終わります。

D(n)が１０進でＱ₀+1桁の数であるとき、
遅くともＱ₁+1桁は０でなく、以降Ｑ_ｋ+1桁は０ではありません。

ここでＱ_ｋ+1＝[Ｑ_ｋ*log₁₀2]です。
そしてＱ_lastは１です。

Ｑ₀→∞のときlast→∞は殆ど明らかです。
実際[Ｑ_ｋ*log₁₀2]＞Ｑ_ｋ*log₁₀2-1を用いれば真のlast値は
（Ｑ₀+α）＝(log₂10)^last*(Ｑ_last+α)で得られるlast値より大きいことがわかります。

ここでαは　α(1-log₁₀2)=1 である値（≒1.4）であって正の値です。

即ち、D(n)の各桁の合計値はｎ無現大において無限大になります。

◆京都府　大空風成 さんからの解答。

mを自然数、
A、Bを自然数、B＜10^4mとして、
2ⁿ=A×10^4m+B　・・・(1)
と表す。
2ⁿ=A×2^4m×5^4m+B
となり、明らかに　n＞4mだから、左辺は2^4mを因数にもつから、
Bも2^4mを因数にもち、
B≧2^4m=16^m＞10^m
となる。

よって、(1)は、
2ⁿ=A×10^4m+C×10^m+D
と表せて、A、C、Dは自然数で、1≦C＜10^3m、1≦D＜10^m　である。

これを繰り返して、k、A_i、C、Dを自然数として、
p(k)=4^k、10^p(k)≦2ⁿ＜10^p(k+1)　・・・・(2)
1≦A_i＜10^p(i+1)-p(i)　(i=1、2、・・・、k)、
1≦C₁＜10³、1≦ D₁＜10
とすると、
2ⁿ=A_k×10^p(k)+A_k-1×10^p(k-1)+・・・ +A₁×10^p(1)+C₁×10+D₁
と表せる。

これより、
f(n)=(2ⁿの各位の数の和)=(A_k、A_k-1、・・・、A₁、 C₁、D₁の各位の数の総和)
(k+2)個の自然数A_k、A_k-1、・・・、A₁、C₁、D₁はど れも1以上だから、
f(n)≧k+2

ここで、(2)より、n→∞のとき、k→∞だから、
f(n)→∞

◆出題者のコメント。

二人とも、予想外の答えでした。
出題は数学セミナー1985年1月号からです。

数学セミナーの解答の要旨を言えば、
「2ⁿはk+1桁目から4k桁目まで0が連続することはない」
ということを証明し解答するというものでした。

なので、ヒントのような式を書いたわけです。

当然あの式が成立する場合、
「2ⁿはk+1桁目から4k桁目まで0が連続する」
ことになります。
これを仮定して矛盾を導けば解答になります。

2ⁿ=A*10^4k+B
ただし、B＜10^k。
が成立すると仮定して矛盾を導きます。

明らかに、n>4kが成立し、
両辺は2^4kの倍数になります。

10^4kは2^4kの倍数だから、Bも2^4kの倍数。

また、2^4k=16^k＞10^k＞B
が成立するため、B=0でなければなりません。

むろん、これは矛盾です。

従って
「2ⁿはk+1桁目から4k桁目まで0が連続することはない」
が証明できました。

次に、2ⁿは１桁目が０ではないので、以下のことが分かります。

1桁目は　0でない。
2桁目〜4桁目までに　0でない数が少なくとも一つある。
5桁目〜16桁目までに　0でない数が少なくとも一つある。
4^k-1+1桁目〜4^k桁目までに　0でない数が少なくとも一つある。
がわかります。

従って、2ⁿが4^k桁より大きな数である場合、

f(n)≧k+1が成立します。

n→∞の時、k→∞は明らかなので 証明終了です。

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