●訂正前の問題
次の条件を満たすnの最大値を求めよ。
【問題１】
平面上にn個の異なる点があり、どの二点間の距離も整数である。
【問題２】
空間上にn個の異なる点があり、どの二点間の距離も整数である。
◆岩手県 高梨 さんからのコメント。
１、同一直線上に置けば無限個
恐らく「いずれの３点も同一直線上に無い」という条件が抜けているのではないかと思うのですが…
２、同上
◆東京都 ぽこぺん さんからのコメント。
【問題１】は『高校生からの挑戦状Part27』と同様と考えられます。
さらに n 個の点は同一直線上にあってもよいので，自明な解も存在します。
【問題２】は，平面上に無限個の点が存在し得るので，こちらも無限個となります。
※問題２は，「どの４点も同一平面上にない」という条件を付加すると面白い問題になるかもしれません。
出題者から問題の訂正がありました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】 ３個
（I） 正三角形は頂点間の距離が１：１：１であり、奇数のみである。
よって、３個のものは存在する。
（II） 仮に、４個の場合があるとする。
６個の２点間の距離をa,b,c,d,e,f とし、各頂点を、一般性を失わず、下図のように直交座標上にとる。
y1≧0 y2≦0
満足すべき等式は次の５式で、未知数は４個である。
(1) (x1-a)2+y12=b2
(2) x12+y12=c2
(3) x22+y22=d2
(4) (x2-a)2+y22=e2
(5) (x1-x2)2+(y1-y2)2=f2
未知数x1,x2,y,1y2を消去し、平方根をはずすと次の１つの満足すべき等式が得られる。
A×Q=0 ,
Q=AF(A+F-B-C-D-E)+A(E-B)(D-C)+F(E-D)(B-C)+(CE-BD)(C+E-B-D)
ここで A=a2、B=ｂ2、C=ｃ2、D=ｄ2、E=e2、F=ｆ2である。
Aは奇数であり０ではない。
Mod ４ において
奇数2≡１2≡３2≡１ である。
従ってA=B=C=D=E=F=１としてよい。
計算すると Q≡２ mod ４である。
つまりQ=0とはならない。
これは矛盾である。
【P．S．】
問題２はGive Up です。