◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】,【問題２】のいずれの場合も、
(3) 最後まで残って水の量が減っている。
ようなことは、条件に従った操作では起き得ません
【問題１】
| ｘ＜ | １ ３ |
のときは、以下の２通りがあります。 |
(1) 操作の途中で空になって取り除かれる。
(2) 最後まで残って水の量が増えている。
【証明】
仮にビーカーが３個になったときでも、最初ｘリットルの水が入ったビーカーが最初の状態のままで残ったものとすると、
| ｘ(＜ | １ ３ |
)リットルが３個のビーカーの水の内で最多であることはあり得ません。 |
最多なら水の総量は１リットルに満たなくなり題意に反します。
ですから、２つのビーカーにするときには、(1)か(2)のいずれかで、
(4) 最後までｘリットルの水が入ったままで残る。
ようなことは起き得ません。
以下、(1)や(2)が起こる例を各ビーカーの容量と水の総量を１００として示します。
(1)になるケース
(2)になるケース
【問題２】
| ｘ＞ | ２ ５ |
のときは、以下の１通りしかありません。 |
(4) 最後までｘリットルの水が入ったままで残る。
【証明】
ビーカーがｍ個のとき、そこで最少である２個のビーカーの水の合計量が、
| 最多であるｘ(＞ | ２ ５ |
)リットルの水の量以上になったものとします。 |
ｍの最大値を得るためには最少である２個のビーカーの水の合計量を、できるだけ多くさせる必要があります。
それには、ｘリットル入りのビーカーは
| ｘ＞ | ２ ５ |
の範囲でｘを最少にさせ、 |
| 他のビーカーは残りの水(＜ | ３ ５ |
)を等分させれば良い筈です。 |
| ｄを正の無限小値とし、ｘ＝ | ２ ５ |
＋ｄ とすると、 |
| ２ ５ |
＋ｄ≦ |
ｍ−１ |
| ｍ≦ | ８−５ｄ ２＋５ｄ |
＜ | ８ ２ |
＝４ |
∴ ｍ＜４
結局ビーカーが４個以上なら、そこで最少である２個のビーカーの水の合計量が
| 最多であるｘ(＞ | ２ ５ |
)リットルの水の量以上になることはあり得ません。 |
これは、最初ビーカーの数が４個以上なら３個になっても、
| ｘ(＞ | ２ ５ |
)リットルが３個のビーカーの水の内で最多であることを意味します。 |
ですから、
(4) 最後までｘリットルの水が入ったままで残る。