右と上にしか行かない場合です。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
図の蜘蛛のいる頂点から対角にある頂点は３個。
対角にある頂点から直進するのが最短コースとなる。
ｎ個のマスとｎ個のマスがあるとき対角までの最短コースの経路の数は（ｎ＋ｎ）個から同じものをｎ個とる順列に等しい。
したがって、求める最短経路の個数は、
（2nＣn×３）個。
答え ３×2nＣn個。
順列組み合わせの問題が多いですね。
「つり銭をなくせ」の問題に似ています。
見方を変えると同じ問題という意味では頭の体操になります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
間違っていました。
展開図を考えると、最短コースの経路は２ｎ個とｎ個のマスのある長方形４つのなかにある。
この長方形の対角にある頂点までの最短経路の個数の問題に還元される。
この経路は同じ（２ｎ＋ｎ）個からｎ個または２ｎ個をとる順列に等しい。
例えば、縦ｎ個のマス、横２ｎ個マスの長方形の場合、左下の頂点からその対角にある頂点までの最短経路は、右に２ｎ個のマス、上にｎ個のマスを取る組み合わせになる。
また3nＣn＝3nＣ2nである。
したがって求める経路の個数は、
| 3nＣn×４＝ | （３ｎ）！×４ ――――――――――― （２ｎ）！×ｎ！ |
【出題者のフェイクさんからのコメント】
展開図を考えて、２ｎ×ｎの長方形に問題を還元するという考え方はいいです。
でも本当にかける数は４で良いのでしょうか？
また、本当に重複はないのでしょうか？
その辺を調べるためにも２×２×２や３×３×３の桝目がついている立方体で考えてみることをお勧めします。
感想：
蜘蛛が描いてある図に騙されてはいけません。
見えないところにも道があるのです。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
また間違えていました。
三度目の正直になるといいのですが。
ご指摘のように２ｎ個のマス、ｎ個のマスの長方形が６個あります。
またｎ個のマス、ｎ個のマスの正方形が６個重複します。
したがって求める最短経路の個数は、
（3nＣn−2nＣn）×６個となります。
◆石川県 Takashi さんからの解答。
正面から右側面を見たときの経路は、
2nＣn
これが６面あるので６倍にして、重複経路はｎに関係なく６通り。
よって、
６×2nＣn−６
これくらいかな？
◆石川県 青木からの解答。
実はこの問題は解答をお聞きしていないので、私も考えてみました。
ただし自信はないです。
間違っていたら教えてください。
最初にａ×ｂの長方形について考えると、最短距離で進む方法は
右と上にしか行かない場合です。
したがって、(ａ＋ｂ)回のうち、上へａ回行けばよいのだから、場合の数は
| a+bＣa＝ | (ａ＋ｂ)！ ―――――― ａ！ｂ！ |
ａ×ｂ×ｃの直方体についても同様に考えて、
| a+b+cＣc×a+bＣb＝ | (ａ＋ｂ＋ｃ)！ ―――――――― ａ！ｂ！ｃ！ |
この問題では、
| (３ｎ)！ ―――――――― ｎ！ｎ！ｎ！ |
◆東京都 ＧＯＦＹ・和人さんからの解答。
きょ〜ぉも お酒が 飲めるのわ〜っ・・・んっ、いいよ。この『数学の部屋』わ。
ここを眺めていると酔いが早く巡る。
酒のつまみに丁度いいなぁ。
なにしろ安く上がる。るんるん。
ところで何々？？立方体の表面？ んなの６個に決まっているぞぉ、昔から。
へぇ？南東リアルか？ 解答を見るとぉ、mＣｎ と北かぁ！ ふむふむふむ。
なるひょど・・・あっれ〜？ 南下 違和感がある象。
１×１×１の立方体で考えてみよか。
頂点●から出発して頂点●に、最短で到達する為には面を２つ通過するにゃぁ。
●から出発するときに選べるのは ａ，ｂ，ｄの反対側 の３面。
最初に面ａに来たと考えよう。
あと１面で●に到達するには、ふ〜っ
ｄまたはｃの面に行くしかない象。
ｂにいっちゃ〜い缶！
つまりぃ、最短を洗濯する限りぃ、１つの面から次の面を選べるのは２コだけ。
じぇんぶで 参、弐が６通りアルジェ。
２×２×２の立方体・・・う〜ん説明が面倒だ。パスパス。
ただ最短通過面は５コ。
１つの面から次の面を選べるのは（最短である限り）常に２コだけ。
３×３×３ 辺（稜線）に接しない面が出て北。
何か違いが出るかな？？？ ないない無い。
最短で８面通貨。次に選べるのは常に２面。
ｎ×ｎ×ｎの場合 最短通過面 ３ｎ−１。
３ｎ−１ のそれぞれで次に選べるのは２面
だから ２3n-1 通り。
●から最初に選べるのは３面
ｎ×ｎ×ｎの立方体の最短通過方法は ３×２3n-1通り。
おお〜っと、最後の１面はもう選択肢が無いんだぁ。ふぇ〜、あぶいあぶい。
答：ｎ×ｎ×ｎの立方体の最短通過方法は ３×２3n-2通りだいっ。
何だか簡単過ぎるなぁ。題意の取り違いかなぁ。
また「醤油問題か、ソースか、もう迷わねーズ」となるのかなぁ。
へくっ、大分酔いが回って北象。ええぃ！面倒くさい。
投稿しちゃえ。 おやすび〜。
◆神奈川県の大学生 ちょっこさんからの解答。
私も青木さんと同じでごじゃる。
この場合（描いてある図に従うと）、
奥に（長さ）ｎ
右に同じくｎ
下に同じくｎ
だけ進まねばなりませぬ。
ということは、この問題は
｛奥、奥、・・・、奥、右、右、・・・、右、下、下、・・・、下｝
（奥・右・下ともｎ個ずつ並んでる）
という列があったとした時に、（異なる）並べ方はいくつ？という問題と同じと考えられまする。
青・赤・黄のボールがそれぞれｎ個ずつあります。何通りの並べ方があるでしょう？
という問題とも同じでございましょう。
で、そう考えると 求める答えは：
| (３ｎ)！ ―――――――― ｎ！ｎ！ｎ！ |
となりますなあ。
感想：合ってるのか間違ってるのかをはっきり知りたいです。
【コメント】
おお、ようやく私の味方が・・・・。とても嬉しいです。
無視されたらつらいな、と思っていたので。
少しだけ自信がもてました。
◆神奈川県 三島 久典 さんからの解答。
石川県 Takashi さんが正解だと思います。
つまり、清川さんの第１感、
３× 2nＣnの修正版、
・正方形２つのつながりが３とおりではなく、６とおり
・かつ、重複するルートも６とおり
よって、６× 2nＣn −６でＯＫだと思います。
青木さんの解、
| (ａ＋ｂ＋ｃ)！ ―――――――― ａ！ｂ！ｃ！ | は、 |
【コメント】
ようやく納得できました。
ついに解決したのではないでしょうか。
？マークをとります。